2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос по линейным преобразованиям
Сообщение06.05.2014, 17:15 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Всем доброго времени суток!
Уважаемые форумчане, помогите, пожалуйста ,доказать, что каждое линейное преобразование однозначно представляется в виде суммы самосопряженного и кососимметри­ческого преобразований. И почему, если элементы этого разложения перестановочны, то представимое преобразование - есть нормальное?

Даже не знаю с чего начать...
Может, решение - это доказательство того, что матрицы эрмитовых и антиэрмитовых преобразований образуют базис матриц всех преобразований? И как это сделать?
Заранее большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по линейным преобразованиям
Сообщение06.05.2014, 17:40 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Omega в сообщении #859889 писал(а):
каждое линейное преобразование однозначно представляется в виде суммы самосопряженного и кососимметри­ческого преобразований.
Это почти очевидно. Вспомните про вещественную и мнимую часть комплексного числа.
Omega в сообщении #859889 писал(а):
И почему, если элементы этого разложения перестановочны, то представимое преобразование - есть нормальное?
Здесь у Вас какая-то аберрация произошла. Как элементы суммы могут не быть перестановочными? Смотрите в учебнике определение нормального оператора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по линейным преобразованиям
Сообщение06.05.2014, 17:55 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
nnosipov в сообщении #859900 писал(а):
Omega в сообщении #859889 писал(а):
...Смотрите в учебнике определение нормального оператора.


Имеется в виду, что их произведение перестановочно.

nnosipov в сообщении #859900 писал(а):
Omega в сообщении #859889 писал(а):
каждое линейное преобразование однозначно представляется в виде суммы самосопряженного и кососимметри­ческого преобразований.
Это почти очевидно. Вспомните про вещественную и мнимую часть комплексного числа.


Не понял Вас. Пусть $\psi=\varphi_{1}+\varphi_{2}$ и $\varphi_{1}=\varphi_{1}^{*};\varphi_{2}=-\varphi_{2}^{*}$. А дальше что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по линейным преобразованиям
Сообщение06.05.2014, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну, как бы подсказать, не говоря ответа... Вам ведь уже намекнули про вещественную и мнимую часть. Знаете ли вы явную формулы, выражающую $\operatorname{Re}z$ через $z$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по линейным преобразованиям
Сообщение06.05.2014, 18:10 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
provincialka, проблем с комплексными числами у меня нет: $2Re(z)=z+\overline{z}$
Я просто не понимаю каким конкретно образом это можно привязать к разложению преобразования?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по линейным преобразованиям
Сообщение06.05.2014, 18:25 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Omega в сообщении #859912 писал(а):
проблем с комплексными числами у меня нет: $2Re(z)=z+\overline{z}$
Я просто не понимаю каким конкретно образом это можно привязать к разложению преобразования?

Это что значит? Что если сложить число и его сопряжённое, то получится вещественное.

А как аналогичное утверждение будет звучать для операторов (ну т.е., собственно, что является обобщением этого утверждения с тривиального случая скалярных операторов на общий)?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по линейным преобразованиям
Сообщение06.05.2014, 18:28 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Omega в сообщении #859889 писал(а):
И почему, если элементы этого разложения перестановочны, то представимое преобразование - есть нормальное?

ну если Вы доказали вот это
Omega в сообщении #859889 писал(а):
каждое линейное преобразование однозначно представляется в виде суммы самосопряженного и кососимметри­ческого преобразований

то и запишите Ваше линейное преобразование $\ell=s_1+s_2$, где $s_1$ --- самосопряженное и $s_2$ --- кососимметрическое. Что такое нормальное преобразование? Чему равно сопряженное для $\ell$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по линейным преобразованиям
Сообщение06.05.2014, 18:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #859900 писал(а):
Omega в сообщении #859889 писал(а):
И почему, если элементы этого разложения перестановочны, то представимое преобразование - есть нормальное?
Здесь у Вас какая-то аберрация произошла.

Почему? Всё правильно. Это хоть и не определение нормальности, но его критерий.

[/quote]Omega, доказывайте в лоб -- тупым перемножением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по линейным преобразованиям
Сообщение06.05.2014, 18:35 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Я так понимаю, можно положить, что $\varphi_{1}=\dfrac{\psi+\psi^{*}}{2};\varphi_{2}=\dfrac{\psi-\psi^{*}}{2}$
Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по линейным преобразованиям
Сообщение06.05.2014, 18:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Верно (не считая того, что буква "фи" звучит неприлично).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по линейным преобразованиям
Сообщение06.05.2014, 18:46 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Так получается, что нормальность $\psi$ очевидна? Ведь $(\varphi_{1}+\varphi_{2})^{*}(\varphi_{1}+\varphi_{2})=(\varphi_{1}+\varphi_{2})(\varphi_{1}+\varphi_{2})^{*}=\varphi_{1}^{2}-\varphi_{2}^{2}$ по условию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по линейным преобразованиям
Сообщение06.05.2014, 18:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Omega в сообщении #859928 писал(а):
$(\varphi_{1}+\varphi_{2})^{*}(\varphi_{1}+\varphi_{2})=(\varphi_{1}+\varphi_{2})(\varphi_{1}+\varphi_{2})^{*}=\varphi_{1}^{2}-\varphi_{2}^{2}$ по условию?

В принципе, да (если я правильно понял, что Вы понимаете под "по условию").

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по линейным преобразованиям
Сообщение06.05.2014, 19:12 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ewert в сообщении #859919 писал(а):
Почему? Всё правильно. Это хоть и не определение нормальности, но его критерий.
Да уж, чего это я ... Надеюсь, ТС не обидится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по линейным преобразованиям
Сообщение06.05.2014, 19:59 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Omega, а удалось ли Вам все-таки доказать, что линейное преобразование именно
Omega в сообщении #859889 писал(а):
однозначно
представляется в виде суммы самосопряженного и кососимметри­ческого преобразований?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group