2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрическое распределение вероятностей
Сообщение04.05.2014, 14:43 


09/01/14
257
Здравствуйте. Имеется следующее задание:
Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы, причём $P(\xi=k)=P(\eta=k)=pq^{k-1}$
$q=1-p,\ 0<p<1,\ k=1,\ 2,..$
Найти $P(\xi>\eta)$.
Я нашёл $P(\xi=\eta)=\frac{p}{1+q}$
$P(\xi>\eta)+P(\xi<\eta)+P(\xi=\eta)=1$
Но как доказать, что $P(\xi>\eta)=P(\xi<\eta)$?
Вроде бы понятно, что $\xi$ и $\eta$ – одно и то же с точностью до обозначения, но всё же, может быть, можно доказать это строго?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое распределение вероятностей
Сообщение04.05.2014, 15:56 
Аватара пользователя


18/04/14
25
tech в сообщении #858831 писал(а):
Здравствуйте. Имеется следующее задание:
Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы, причём $P(\xi=k)=P(\eta=k)=pq^{k-1}$
$q=1-p,\ 0<p<1,\ k=1,\ 2,..$
Найти $P(\xi>\eta)$.
Я нашёл $P(\xi=\eta)=\frac{p}{1+q}$
$P(\xi>\eta)+P(\xi<\eta)+P(\xi=\eta)=1$
Но как доказать, что $P(\xi>\eta)=P(\xi<\eta)$?
Вроде бы понятно, что $\xi$ и $\eta$ – одно и то же с точностью до обозначения, но всё же, может быть, можно доказать это строго?


Здравствуйте. Я бы использовал, что $P(\xi>\eta)=\sum \limits_{k=1}^{\infty} P(\xi>\eta,\eta=k)$ и далее, воспользовавшись независимостью, посчитать суммы которые получатся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое распределение вероятностей
Сообщение04.05.2014, 16:16 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Ну, $\xi>\eta$ — это некое множество пар, для каждой из которых задана вероятность (кои надо просуммировать). Если установить взаимнооднозначное соответствие с множеством пар $\xi<\eta$, такое чтоб вероятности соответствующих пар совпадали, то это, имхо, и будет доказательством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое распределение вероятностей
Сообщение04.05.2014, 16:41 


09/01/14
257
MaxWriter в сообщении #858856 писал(а):
Я бы использовал, что $P(\xi>\eta)=\sum \limits_{k=1}^{\infty} P(\xi>\eta,\eta=k)$ и далее, воспользовавшись независимостью, посчитать суммы которые получатся.

Точно! Я же точно так же находил $P(\xi>\eta)$, а здесь что-то не додумался.
Большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое распределение вероятностей
Сообщение04.05.2014, 16:45 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
tech
Зачем? Это усложнение задачи. Вы верно отметили соображение, про которое говорят "по соображениям симметрии". iifat достаточно подробно написал, как ее обосновать, хотя она и так очевидна.

-- 04.05.2014, 19:47 --

tech в сообщении #858878 писал(а):
Я же точно так же находил $P(\xi>\eta)$

Вы что-то другое находили, если более ранним постам верить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое распределение вероятностей
Сообщение05.05.2014, 00:29 


09/01/14
257
Otta
Да, опечатался. Там должно быть $P(\xi=\eta)$.
Доказательство iifat я не совсем понял (или совсем не понял). Почему мы можем установить между между этими парами взаимооднозначное соответствие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое распределение вероятностей
Сообщение05.05.2014, 01:33 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Как интересно вы формулируете вопрос. Ну, можем, потому что уголовным кодексом не запрещено. Не видите? Попробуйте выписать несколько представителей $\xi>\eta$ и $\xi<\eta$ с их вероятностями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое распределение вероятностей
Сообщение05.05.2014, 08:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
В силу независимости (и одинаковой распределённости) компонент распределение векторов $(\xi,\,\eta)$ и $(\eta,\,\xi)$ одинаково:
$$\mathsf P(\xi \in A,\, \eta \in B) = \mathsf P(\xi \in A)\mathsf P(\eta \in B) = \mathsf P(\eta \in A)\mathsf P(\xi \in B) = \mathsf P(\eta \in A, \, \xi \in B). $$
Поэтому одинаковы будут любые вероятности для этих двух векторов. Например, $\mathsf P((\xi,\,\eta)\in (-\infty,\,0))=\mathsf P((\eta,\,\xi)\in (-\infty,\,0))$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое распределение вероятностей
Сообщение05.05.2014, 16:22 


09/01/14
257
iifat,
--mS--,
Вот теперь я понял. Спасибо большое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое распределение вероятностей
Сообщение05.05.2014, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Только что-то странное я тут написала:
--mS-- в сообщении #859331 писал(а):
Например, $\mathsf P((\xi,\,\eta)\in (-\infty,\,0))=\mathsf P((\eta,\,\xi)\in (-\infty,\,0))$.

Конечно, имелось в виду попадание пары в множество $\{(x,y)\,:\, x-y<0\}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group