2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Где может быть ошибка в решении ДУ?
Сообщение29.04.2014, 07:43 


20/03/14
90
Нужно решить диф.уравнение: $3y(y')^2+7(y')^3+11y''(y')^2-2y''y^2=0$
Решение :
Заменим $y'=p$,   $y''=p\frac{dp}{dy}$,   получим: $3yp^2+7p^3+11p\frac{dp}{dy}p^2-2p\frac{dp}{dy}y^2=0$

Разделим всё на $p$, вынесем за скобки $\frac{dp}{dy}$ и перенесём вправо: $3yp+7p^2=\frac{dp}{dy}(2y^2-11p^2)$

Разделим переменные и выражения под интеграл: $\int(3yp+7p^2)dy=\int(2y^2-11p^2)dp$

Проинтегрируем: $\frac{3}{2}y^2p+7yp^2=2y^2p-\frac{11}{3}p^3$

Получим квадратное уравнение: $\frac{11}{3}p^2+7yp+\frac{1}{2}y^2=0$

Решим квадратное уравнение
Найдём дискриминант: $D=49y^2-4\cdot\frac{11}{3}\cdot(-\frac{1}{2}y^2)=\frac{169y^2}{3}$
Корни квадратного уравнения: $$p_{1,2}=\frac{-7y\pm\sqrt{\frac{169y^2}{3}}}{2\cdot\frac{11}{3}}=\left (\frac{-21\pm 13\sqrt{3}}{22}\right )\cdot y$$
Проведём обратную замену: $p=y'=\frac{dy}{dx}=y\cdot \left (\frac{-21\pm 13\sqrt{3}}{22}\right )$

Разделяем переменные и интегрируем: $\int\frac{dy}{y}=\int(\frac{-21\pm 13\sqrt{3}}{22})dx$
$\ln|y|=(\frac{-21\pm 13\sqrt{3}}{22})\cdot x+C_1$
$y=C_1\cdot e^{(\frac{-21\pm 13\sqrt{3}}{22})\cdot x}$
Для упрощения заменим $(\frac{-21\pm 13\sqrt{3}}{22})=t$
Тогда $y=C_1\cdot e^{tx}$,     $y'=C_1\cdot t\cdot e^{tx}$,     $y''=C_1\cdot t^2\cdot e^{tx}$
Проведём проверку подставляя $y$, $y'$, $y''$ в усходное диф.уравнение и ... ничего не получается

 Профиль  
                  
 
 Re: Где может быть ошибка в решении ДУ?
Сообщение29.04.2014, 08:47 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
dinamo-3 в сообщении #856606 писал(а):
Разделим переменные
Нет, то, что вы проделали — это не разделение переменных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Где может быть ошибка в решении ДУ?
Сообщение29.04.2014, 11:07 


20/03/14
90
iifat в сообщении #856613 писал(а):
dinamo-3 в сообщении #856606 писал(а):
Разделим переменные
Нет, то, что вы проделали — это не разделение переменных.

В этом ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Где может быть ошибка в решении ДУ?
Сообщение29.04.2014, 12:33 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
В чём ошибка — глубокий философский вопрос с неоднозначным ответом. Но если вы пишете "разделим переменные", а сами не разделили — какие ещё могут быть вопросы по решению?

 Профиль  
                  
 
 Re: Где может быть ошибка в решении ДУ?
Сообщение29.04.2014, 12:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
dinamo-3 в сообщении #856606 писал(а):
Разделим всё на $p$, вынесем за скобки $\frac{dp}{dy}$ и перенесём вправо: $3yp+7p^2=\frac{dp}{dy}(2y^2-11p^2)$

Это уравнение относится к классу однородных, поэтому переменные действительно разделяются; только отнюдь не сразу, а лишь после соответствующей подстановки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Где может быть ошибка в решении ДУ?
Сообщение29.04.2014, 23:40 


29/09/06
4552
dinamo-3 в сообщении #856606 писал(а):
Разделим переменные и выражения под интеграл: $\int(3yp+7p^2)dy=\int(2y^2-11p^2)dp$

Проинтегрируем: $\frac{3}{2}y^2p+7yp^2=2y^2p-\frac{11}{3}p^3$

Имхо, $\int[2y(p)^2-11p^2]dp\not=2y(p)^2p-\frac{11}{3}p^3 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Где может быть ошибка в решении ДУ?
Сообщение01.05.2014, 16:12 


20/03/14
90
Алексей К. в сообщении #857035 писал(а):
dinamo-3 в сообщении #856606 писал(а):
Разделим переменные и выражения под интеграл: $\int(3yp+7p^2)dy=\int(2y^2-11p^2)dp$

Проинтегрируем: $\frac{3}{2}y^2p+7yp^2=2y^2p-\frac{11}{3}p^3$

Имхо, $\int[2y(p)^2-11p^2]dp\not=2y(p)^2p-\frac{11}{3}p^3 $
Согласен. У меня ошибки начались, как только начал "разделять переменные".

-- 01.05.2014, 15:44 --

ewert в сообщении #856717 писал(а):
dinamo-3 в сообщении #856606 писал(а):
Разделим всё на $p$, вынесем за скобки $\frac{dp}{dy}$ и перенесём вправо: $3yp+7p^2=\frac{dp}{dy}(2y^2-11p^2)$

Это уравнение относится к классу однородных, поэтому переменные действительно разделяются; только отнюдь не сразу, а лишь после соответствующей подстановки.
Я заменил $p$ на $ty$. Потом нашёл $p'=t'y+t$. Далее всё подставил в $3yp+7p^2=\frac{dp}{dy}(2y^2-11p^2)$ и получил: $$\frac{dy}{y}=\frac{(2-11t^2)dt}{t(11t^2+7t+1)}$$Затем выражение в правой части методом неопределённых коэффициентов разделил на элементарные дроби. Далее проинтегрировал и получил:
$$\ln|y|+\ln(C_1)=\frac{2\ln|t|}{m_1\cdot m_2}+\frac{2-11m^2_1}{m_1\cdot(m_1-m_2)}\cdot\ln|t-m_1|+\frac{11m^2_2-2}{m_2\cdot(m_1-m_2)}\cdot\ln|t-m_2|$$где $m_1=\frac{-7-\sqrt{5}}{22}$, а $m_2=\frac{-7+\sqrt{5}}{22}$   - корни $11t^2+7t+1=0$
Такое сложное, а ведь ещё делать обратную замену $t\rightarrow p\rightarrow y'\rightarrow y$
Возможно, я неверную замену подобрал $p=ty$ ?
А есть ли какое-нибудь правило выбора замены? Как её подбирают?

 Профиль  
                  
 
 Re: Где может быть ошибка в решении ДУ?
Сообщение01.05.2014, 18:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
dinamo-3 в сообщении #857649 писал(а):
А есть ли какое-нибудь правило выбора замены?

Вот ровно такое и есть. А уж там что выйдет -- то и выйдет (арифметику не проверял). Можете ещё попробовать наоборот -- сделать аналогичную подстановку не для $\frac{dp}{dy}$, а для $\frac{dy}{dp}$, авось что попроще получится (хотя принципиально это, конечно, ничего не изменит).

 Профиль  
                  
 
 Re: Где может быть ошибка в решении ДУ?
Сообщение02.05.2014, 18:29 


20/03/14
90
ewert в сообщении #857716 писал(а):
dinamo-3 в сообщении #857649 писал(а):
А есть ли какое-нибудь правило выбора замены?

Вот ровно такое и есть. А уж там что выйдет -- то и выйдет (арифметику не проверял). Можете ещё попробовать наоборот -- сделать аналогичную подстановку не для $\frac{dp}{dy}$, а для $\frac{dy}{dp}$, авось что попроще получится (хотя принципиально это, конечно, ничего не изменит).

$(3yp+7p^2)\frac{dy}{dp}=2y^2-11p^2$
Замена: $y(p)=tp,     y'(p)=(tp)'=t'p+t$
Теперь подставим в уравнение: $(3tpp+7p^2)\cdot(t'p+t)=2t^2p^2-11p^2$
Делим на $p^2$ и получим: $(3t+7)\cdot(t'p+t)=2t^2-11$
Преобразуем: $t'p=\frac{2t^2-11}{3t+7}-t=\frac{-t^2-7t-11}{3t+7}$
$\frac{dt}{dp}p=-\frac{t^2+7t+11}{3t+7}$
$$-\frac{dp}{p}=\frac{(3t+7)dt}{t^2+7t+11}$$Выражение в правой части преобразуем в элементарные дроби (методом неопределённых коэффициентов) : $$\frac{(3t+7)dt}{t^2+7t+11}=\frac{3m_1+7}{m_1-m_2}\cdot\frac{1}{t-m_1}+\frac{3m_2+7}{m_2-m_1}\cdot\frac{1}{t-m_2}$$где $m_1$ и $m_2$ - корни квадратного уравнения $t^2+7t+11=0$
Проинтегрируем : $-\int \frac{dp}{p}=\frac{3m_1+7}{m_1-m_2}\cdot\int\frac{dt}{t-m_1}+\frac{3m_2+7}{m_2-m_1}\cdot\int\frac{dt}{t-m_1}$ и получим :
$$-\ln|p\cdot C_1|=\frac{3m_1+7}{m_1-m_2}\cdot\ln|t-m_1|+\frac{3m_2+7}{m_2-m_1}\cdot\ln|t-m_2|$$
Делаем обратную замену $t=\frac{y}{p}$ :
$$-\ln|p\cdot C_1|=\frac{3m_1+7}{m_1-m_2}\cdot\ln\left |\frac{y}{p}-m_1\right |+\frac{3m_2+7}{m_2-m_1}\cdot\ln\left |\frac{y}{p}-m_2\right |$$
Делаем обратную замену $p=y'$ :
$$-\ln|y'\cdot C_1|=\frac{3m_1+7}{m_1-m_2}\cdot\ln\left |\frac{y}{y'}-m_1\right |+\frac{3m_2+7}{m_2-m_1}\cdot\ln\left |\frac{y}{y'}-m_2\right |$$И получилось дифференциальное уравнение.
Где могут быть ошибки? Или всё правильно и начинать по второму кругу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Где может быть ошибка в решении ДУ?
Сообщение02.05.2014, 18:37 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Похоже на правду, хотя кропотливо проверять — увольте. И получилось, вполне естественно, дифференциальное уравнение. И решабельным быть оно, собственно, не обязано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Где может быть ошибка в решении ДУ?
Сообщение04.05.2014, 08:53 


20/03/14
90
iifat в сообщении #858235 писал(а):
Похоже на правду, хотя кропотливо проверять — увольте. И получилось, вполне естественно, дифференциальное уравнение. И решабельным быть оно, собственно, не обязано.

Получается тупик? И   $y$   из этого решения найти невозможно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Где может быть ошибка в решении ДУ?
Сообщение04.05.2014, 09:24 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
dinamo-3
Что значит тупик? В неявном виде вы решение нашли (если конечно всё верно сосчитали). Явно, конечно, выразить его не удастся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Где может быть ошибка в решении ДУ?
Сообщение04.05.2014, 11:25 


29/09/06
4552
От логарифмов в последней версии, наверное, стоит избавиться.

И, как обычно, возникает вопрос: задача учебная, или жизнь так сложилась?
В первом случае обычно советуют искать опечатку в условии задачи, во втором --- изучают условия жизни, сопутствующие данному ДУ. Но как бы всё не так плохо выглядит.

-- 04 май 2014, 12:26:31 --

Кажись, ошибочку увидел... Проверю ещё, однако.

-- 04 май 2014, 12:31:53 --

Имхо, нехорошо писать знаменатель одной дроби как $m_1-m_2$, а соседней --- $m_2-m_1$. Это напрягает читателя, провоцирует ошибки.

-- 04 май 2014, 12:38:03 --

Нет, проверьте, пожалста, сами:
dinamo-3 в сообщении #858233 писал(а):
$$\frac{(3t+7)\text{\color{red}\bf---}\!\!\!\!\!dt}{t^2+7t+11}=\frac{3m_1+7}{m_1-m_2}\cdot\frac{1}{t-m_1}+\frac{3m_2+7}{m_2-m_1}\cdot\frac{1}{t-m_2}$$
(зачёркнутое зачёркнуто мной, А.К.).

-- 04 май 2014, 12:54:32 --

Заметил, что Вы изменили значения $m_{1,2}$, но явно выписали лишь в первый раз. Я поискал по тексту $m_{1,2}$, увидел, и их применял. А оно уже не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Где может быть ошибка в решении ДУ?
Сообщение05.05.2014, 20:13 


20/03/14
90
Алексей К. в сообщении #858789 писал(а):
От логарифмов в последней версии, наверное, стоит избавиться.

И, как обычно, возникает вопрос: задача учебная, или жизнь так сложилась?
В первом случае обычно советуют искать опечатку в условии задачи, во втором --- изучают условия жизни, сопутствующие данному ДУ. Но как бы всё не так плохо выглядит.

-- 04 май 2014, 12:26:31 --

Кажись, ошибочку увидел... Проверю ещё, однако.

-- 04 май 2014, 12:31:53 --

Имхо, нехорошо писать знаменатель одной дроби как $m_1-m_2$, а соседней --- $m_2-m_1$. Это напрягает читателя, провоцирует ошибки.

-- 04 май 2014, 12:38:03 --

Нет, проверьте, пожалста, сами:
dinamo-3 в сообщении #858233 писал(а):
$$\frac{(3t+7)\text{\color{red}\bf---}\!\!\!\!\!dt}{t^2+7t+11}=\frac{3m_1+7}{m_1-m_2}\cdot\frac{1}{t-m_1}+\frac{3m_2+7}{m_2-m_1}\cdot\frac{1}{t-m_2}$$
(зачёркнутое зачёркнуто мной, А.К.).

-- 04 май 2014, 12:54:32 --

Заметил, что Вы изменили значения $m_{1,2}$, но явно выписали лишь в первый раз. Я поискал по тексту $m_{1,2}$, увидел, и их применял. А оно уже не так.

1. Задача эта не учебная, а рабочая (из электротехники), поэтому может быть и не решаемая.
2. Верно, $dt$ не нужно, там где дробь раскладывается на элементарные дроби.
3. Если убрать логарифмы, то получится:
$$\frac{1}{y'C_1}=\left (\frac{(\frac{y}{y'}-m_1)^{3m_1+7}}{(\frac{y}{y'}-m_2)^{3m_2+7}}\right )^{\frac{1}{m_1-m_2}}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group