2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12  След.
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение19.05.2014, 23:56 
Аватара пользователя


12/01/14
1069
Munin в сообщении #860994 писал(а):
Слушайте внимательно, и не говорите, что не слышали. Арсенал операций для тензоров шире, чем для матриц. В тензорном исчислении базовыми (то есть, не сводящимися к другим) являются нижеследующие операции:

I. Линейные операции: сложение между собой тензоров одинаковых рангов, и умножение на скаляр.

II. Тензорное произведение: из двух тензоров ранга $m$ и $n$ получается тензор ранга $m+n.$

III. Свёртка (можно добавить "по произвольному индексу"). Из тензора ранга $n$ получается тензор ранга $n-2,$ в частном случае вектор или скаляр. Свёртку тензора ранга $n$ можно сделать $n(n-1)/2$ разными способами, это будут разные свёртки.

IV. Произвольная перестановка индексов (валентностей, аргументов) тензора. При изложении тензоров в индексной нотации, эта операция сводится к переименованию индексов, и автор может её отдельно не выделять, но на самом деле она необходима.

(V. В случае, когда различаются верхние и нижние индексы тензоров, может быть в наличии отдельная операция поднятия и опускания индекса, - но может и не быть в наличии. В случае, когда верхние и нижние индексы не различаются, считается, что эта операция есть, биективна, и все индексы по умолчанию пишутся снизу, а при необходимости для свёрток - поднимаются те, которые нужно.)

Вопрос возник. А если я хочу повернуть один ряд трехмерного массива, как в кубике Рубика, то это п. IV подразумевает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение20.05.2014, 00:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18844
Уфа
Один ряд не получится. Это превратит тензор в что-то, зависящее от базиса, или в обратную сторону.

А зачем это нужно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение20.05.2014, 00:05 
Аватара пользователя


12/01/14
1069
arseniiv в сообщении #865352 писал(а):
Один ряд не получится. Это превратит тензор в что-то, зависящее от базиса, или в обратную сторону.
А зачем это нужно?

Но если мы сделаем такую операцию... Как назвать массив чисел, тензором говорите нельзя? Значит многомерная матрица, там крутить можно как угодно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение20.05.2014, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18844
Уфа
prof.uskov в сообщении #865354 писал(а):
Как назвать массив чисел, тензором говорите нельзя?
Массив чисел никогда нельзя назвать тензором. И не говорите, что это была вольность речи: в данном контексте отличия компонент тензора от самого тензора — часть вопроса.

prof.uskov в сообщении #865354 писал(а):
Значит многомерная матрица
Есть уже нормальное слово компоненты, или фраза набор компонент. Все поймут, что это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение20.05.2014, 00:24 
Аватара пользователя


12/01/14
1069
arseniiv в сообщении #865364 писал(а):
prof.uskov в сообщении #865354 писал(а):
Как назвать массив чисел, тензором говорите нельзя?
Массив чисел никогда нельзя назвать тензором. И не говорите, что это была вольность речи: в данном контексте отличия компонент тензора от самого тензора — часть вопроса.

Но прямоугольный массив чисел всегда можно назвать матрицей (многомерной матрицей)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение20.05.2014, 00:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18844
Уфа
prof.uskov в сообщении #865370 писал(а):
Но прямоугольный массив чисел всегда можно назвать матрицей (многомерной матрицей)?
И даже линейный массив. И даже одно число.
Компоненты понятнее и не содержат ненужных упоминаний строк и столбцов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение20.05.2014, 00:38 
Аватара пользователя


12/01/14
1069
arseniiv в сообщении #865374 писал(а):
prof.uskov в сообщении #865370 писал(а):
Но прямоугольный массив чисел всегда можно назвать матрицей (многомерной матрицей)?
И даже линейный массив. И даже одно число.
Компоненты понятнее и не содержат ненужных упоминаний строк и столбцов.

Но компоненты чего? Массива, матрицы? Я имею ввиду, что термин "компоненты" может быть применен лишь к чему-то целому, состоящему из компонент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение20.05.2014, 00:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18844
Уфа
prof.uskov в сообщении #865380 писал(а):
Но компоненты чего?
Зачем им быть чего? Они сами по себе что — кортеж какой-нибудь.

Если одинокие компоненты не устраивают, можно ещё сказать набор величин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение20.05.2014, 00:46 
Аватара пользователя


12/01/14
1069
arseniiv в сообщении #865383 писал(а):
prof.uskov в сообщении #865380 писал(а):
Но компоненты чего?
Зачем им быть чего? Они сами по себе что — кортеж какой-нибудь.

Если одинокие компоненты не устраивают, можно ещё сказать набор величин.

А чем плохо сказать: имеется многомерный массив (матрица), компоненты которого... ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение20.05.2014, 00:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18844
Уфа
Лишняя структура (строки, столбцы, уже упоминал) и специфическая область употребления. Вместо этого можно написать: «Пусть $A_{ijklm} = \ldots$» — и всё! Только описать, какие индексы как меняются, но обычно это можно описать вначале, т. к. они, как правило, разбиваются на небольшое число групп, в каждой из которых бегают по одинаковому множеству. Часто это вообще одна группа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение20.05.2014, 00:54 
Аватара пользователя


12/01/14
1069
arseniiv в сообщении #865387 писал(а):
Лишняя структура (строки, столбцы, уже упоминал) и специфическая область употребления. Вместо этого можно написать: «Пусть $A_{ijklm} = \ldots$» — и всё! Только описать, какие индексы как меняются, но обычно это можно описать вначале, т. к. они, как правило, разбиваются на небольшое число групп, в каждой из которых бегают по одинаковому множеству. Часто это вообще одна группа.

Не-не, когда говорят: имеется прямоугольный массив или таблица, или матрица, то сразу понятно в каком диапазоне меняются индексы и как они расположены в пространстве. Когда мы задаем компонентами, то это нужно описывать отдельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение20.05.2014, 11:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61373
prof.uskov в сообщении #865354 писал(а):
Но если мы сделаем такую операцию...

Операции не делают просто так, от большого желания.

На самом деле, и операции "кубика Рубика" имеют в математике своё воплощение - они называются группами и представлениями групп. Но это слишком сложные для вас концепции, тензоры попроще.

-- 20.05.2014 13:00:19 --

prof.uskov в сообщении #865370 писал(а):
Но прямоугольный массив чисел всегда можно назвать матрицей (многомерной матрицей)?

Прямоугольный массив чисел всегда можно назвать прямоугольным массивом чисел. Хоть многомерным.

А вот слово "матрица" - уже имеет более высокие требования при применении. И словосочетанию "многомерная матрица" просто нельзя нормально придать смысл.

-- 20.05.2014 13:01:02 --

prof.uskov в сообщении #865385 писал(а):
А чем плохо сказать: имеется многомерный массив (матрица), компоненты которого... ?

Тем плохо, что словами нельзя разбрасываться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение20.05.2014, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18844
Уфа
prof.uskov в сообщении #865388 писал(а):
Когда мы задаем компонентами, то это нужно описывать отдельно.
Пределы изменения можно так же компактно записать как и размер матрицы. Не мудрствуя, можно даже написать «набор $3\times3\times3\times4\times4$ компонент $A_{ijklm}$», а можно вспомнить, что индексы — это просто аргументы функции, и написать «$A\colon 1..3^3\times1..4^2\to\mathbb R$» ($m..n$ — довольно распространённое обозначение множества $\{m\leqslant x\leqslant n : x\in\mathbb Z\}$).

prof.uskov в сообщении #865388 писал(а):
и как они расположены в пространстве
Индексам быть расположенным в пространстве нет никаких резонов (и элементам, которые, видимо, имелись в виду, тоже). Они и без этого могут обойтись спокойно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение20.05.2014, 12:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61373
arseniiv в сообщении #865480 писал(а):
Индексам быть расположенным в пространстве нет никаких резонов

Скорее всего, prof.uskov жёстко путает пространство значений индексов, пространство значений компонент, и (возможно) пространство значений всего объекта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Тейлора в векторно-матричной форме
Сообщение20.05.2014, 14:57 
Аватара пользователя


12/01/14
1069
arseniiv в сообщении #865480 писал(а):
prof.uskov в сообщении #865388 писал(а):
и как они расположены в пространстве
Индексам быть расположенным в пространстве нет никаких резонов (и элементам, которые, видимо, имелись в виду, тоже). Они и без этого могут обойтись спокойно.

Конечно, я имел в виду элементы. Не совсем правильно построил предложение... но можно было догадаться. Как расположены компоненты массива на плоскости (или в пространстве) представлять весьма полезно, для понимания решаемой задачи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 180 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group