2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство
Сообщение27.04.2014, 16:43 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Здравствуйте!

Пусть $x_i\in \mathbb{Z}$ и выполняются следующие условия: $x_i\geqslant 2$ и $x_i>x_{i-1}^2-x_{i-1}$. Доказать, что $$\sum \limits_{i=1}^{k}\dfrac{1}{x_i}<1.$$ Пробовал по индукции и другие способы, но ни один из них не подходит.
Помогите пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 17:14 
Заморожен


20/12/10
5623
Была такая задачка в далёком 1985 году на турнире городов, но, правда, в других обозначениях. Можно считать, что $x_1=2$ и $x_i=x_{i-1}^2-x_{i-1}+1$. Пусть $x_i=y_i+1$. Составьте рекуррентное соотношение для $y_i$. Сумму
$$
\sum_{i=1}^k \frac{1}{y_i+1}
$$
можно найти телескопическим методом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 17:44 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
nnosipov
К моему стыду, но я не знаю что такое телескопический метод :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 17:46 
Заморожен


20/12/10
5623
Ну, это такой способ, которым обычно считают сумму
$$
\sum_{i=1}^k \frac{1}{i(i+1)}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 17:59 
Заслуженный участник


08/04/08
8331
Кроме того, сумму можно благополучно заменить на ряд с изменением $<$ на $\leqslant$. Хотя это ненужно.

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #855834 писал(а):
Составьте рекуррентное соотношение для $y_i$.
Круто, я рекуррентное соотношение найти не могу, а доказать - могу :facepalm:

Можете вычислить несколько частичных сумм и все увидите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 18:03 
Заморожен


20/12/10
5623
Sonic86 в сообщении #855871 писал(а):

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #855834 писал(а):
Составьте рекуррентное соотношение для $y_i$.
Круто, я рекуррентное соотношение найти не могу, а доказать - могу :facepalm:

(Оффтоп)

Не понял юмора. Подставьте $x_i=y_i+1$ в рекуррентное соотношение для $x_i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 18:06 
Заслуженный участник


08/04/08
8331

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #855873 писал(а):
Не понял юмора.
Увы, это не юмор. :facepalm:
nnosipov в сообщении #855873 писал(а):
Подставьте $x_i=y_i+1$ в рекуррентное соотношение для $x_i$.
Был такой вариант. Я его просто не добил. Я просто вычислил несколько частичных сумм, потом сформулировал очевидную гипотезу о значении суммы, выраженную через $x_k$, а потом доказал ее индуктивно. А чему равно $x_k$ не узнал :-( Ну ща найду...


-- Вс апр 27, 2014 15:45:10 --

nnosipov в сообщении #855873 писал(а):
Подставьте $x_i=y_i+1$ в рекуррентное соотношение для $x_i$.

Получил $y_{i+1}=y_i(y_i+1)$. И что дальше? дайте еще подсказку.

upd: A007018
офигеть...
исковерканное цитато писал(а):
$y_i=||\theta^{2^i}-1/2||, \theta \approx 1.597910218$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 19:47 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Ну вот после подстановки у меня получилось $y_i=y_{i-1}(y_{i-1}+1)$. А как вычислить сумму $\sum \limits_{i=1}^{k}\dfrac{1}{y_i+1}$ я что-то до сих пор не понял ...

-- Вс апр 27, 2014 20:02:11 --

Sonic86 в сообщении #855871 писал(а):
Можете вычислить несколько частичных сумм и все увидите.
Посчитал и что-то ничего не увидел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 20:18 
Заслуженный участник


08/04/08
8331
Whitaker в сообщении #855949 писал(а):
Sonic86 писал(а):
Можете вычислить несколько частичных сумм и все увидите.
Посчитал и что-то ничего не увидел.
Если $S_n$ - частичная сумма, то $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=1$, потому интересны $1-S_n$ - вычислите их.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 20:26 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Почему это $S_n\to 1$? Извините, но для меня это как-то не так очевидно. А зачем мне разность $1-S_n$? Честно говоря, что-то смысл я немного не понимаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 20:38 
Заслуженный участник


08/04/08
8331
Whitaker в сообщении #855972 писал(а):
Почему это $S_n\to 1$? Извините, но для меня это как-то не так очевидно.
А! Ну так до этого надо сначала тоже дойти :-)
О! А я ведь этого сам не доказал :shock: Блин... :| Т.е. я его просто вычислил на калькуляторе, и смотрю - $=1$.
Не, вру: я его доказал, но доказывается он вместе с неравенством, точнее, этот предел - следствие доказываемого неравенства.

Whitaker в сообщении #855972 писал(а):
А зачем мне разность $1-S_n$?
Чтобы Вы увидели закономерность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 20:49 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Sonic86 в сообщении #855979 писал(а):
....я его доказал, но доказывается он вместе с неравенством, точнее, этот предел - следствие доказываемого неравенства.
Можно об этом чуть подробней? Уже никаких мыслей. Второй день думаю, но безрезультатно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 20:59 
Заморожен


20/12/10
5623
Whitaker в сообщении #855949 писал(а):
Ну вот после подстановки у меня получилось $y_i=y_{i-1}(y_{i-1}+1)$. А как вычислить сумму $\sum \limits_{i=1}^{k}\dfrac{1}{y_i+1}$ я что-то до сих пор не понял ...
Имеем
$$
\frac{1}{y_i+1}=\frac{1}{y_i}-\frac{1}{y_{i+1}}.
$$
(Это равносильно рекуррентному соотношению.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 21:09 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
nnosipov
Спасибо большое за помощь!
Очень красивый метод. Ваши подсказки как всегда ценные и четкие :wink:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group