2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Теория чисел
Сообщение25.04.2014, 22:37 


11/08/13
126
Дана бесконечная арифметическая прогресия, первый член равен 2011, а разность равна 11. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили также и действовали так до тех пор пока не получалась последовательностью однозначных чисел.

1) найдите тысячное число получившейся последовательности.
2) найдите сумму первой тысячи чисел получившейся последовательности.
3) чему может равняться наименьшая сумма 1010 чисел, получившейся последовательности идущих подряд?

1) Первый пункт -- просто.
$a_{1000}=a_1+999d=2011+999\cdot 11=13000$

2) Вот со вторым не ясно. Подсказали, что нужно использовать два утверждения:

Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, что и само число.

Сумма чисел имеет такой же остаток от деления на 9, как и остаток от деления суммы остатков этих чисел при делении на 9.

Сами эти утверждения я понял, но как их применить аккуратно, подскажите, пожалуйста, или какой-нибудь другой способ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел
Сообщение25.04.2014, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13142
с Территории
Что тут простого, например? У Вас условие гласит:
boriska в сообщении #854855 писал(а):
действовали так до тех пор пока не получалась последовательностью однозначных чисел

Ещё раз:
Цитата:
однозначных

У Вас написано цифр 13000. Это число зачем? Это однозначное число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел
Сообщение25.04.2014, 22:55 


11/08/13
126
ИСН в сообщении #854864 писал(а):
У Вас написано цифр 13000. Это число зачем? Это однозначное число?

Ой, забыл написать, что ему соответствует число $1+3+0+0+0=4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел
Сообщение25.04.2014, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13142
с Территории
Ага!
Так-то лучше.
А что Вы таки думаете за всю последовательность (не арифметическую, а однозначных чисел)? Следующее число в ней какое? А ещё 20 следующих? А не видно ли в них какой-нибудь закономерности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел
Сообщение25.04.2014, 23:16 
Аватара пользователя


24/04/14
5
Первое что приходит в голову -что остатки от деления на 9 данной арифметической прогрессии и есть конечные члены

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел
Сообщение25.04.2014, 23:17 


11/08/13
126
ИСН в сообщении #854882 писал(а):
Ага!
Так-то лучше.
А что Вы таки думаете за всю последовательность (не арифметическую, а однозначных чисел)? Следующее число в ней какое? А ещё 20 следующих? А не видно ли в них какой-нибудь закономерности?

4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5....

-- 25.04.2014, 23:17 --

Jake в сообщении #854901 писал(а):
Первое что приходит в голову -что остатки от деления на 9 есть конечные члены

А что с этими отстатками делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел
Сообщение25.04.2014, 23:29 
Аватара пользователя


24/04/14
5
а почему 4,5,5,....?
И ,кстати я не знаю как может помочь второе утверждение, по-моему оно и так очевидно

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел
Сообщение26.04.2014, 12:08 


11/08/13
126
Главный вопрос вот в чем -- как связаны остатки от деления с последовательностью однозначных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел
Сообщение26.04.2014, 12:51 
Заслуженный участник


16/02/13
2809
Владивосток
Да нет же. Главный вопрос: вы таки в состоянии выписать двадцать первых членов вашей последовательности? Правильно выписать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел
Сообщение26.04.2014, 14:21 


11/08/13
126
Спасибо.
Первые 20 чисел.

4 6 8 1 3 5 7 9 2 4 6 8 2 3 5 7 9 2 4 6

$4+6+8+1+3+5+7+9+2=45$

$45\cdot 111=4995$

$4995+4=4999$

Ответ: Сумма будет равна $4999$.

Получилось так

-- 26.04.2014, 14:21 --

И все-таки.. как связаны остатки от деления с последовательностью однозначных чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел
Сообщение26.04.2014, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11120
Казань
boriska, вам бы надо литературу почитать по теории чисел. Популярную, для школьников. Про сравнения по модулю, например. В формате "вопрос-ответ" это долгонько будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел
Сообщение26.04.2014, 15:07 


11/08/13
126
provincialka в сообщении #855295 писал(а):
boriska, вам бы надо литературу почитать по теории чисел. Популярную, для школьников. Про сравнения по модулю, например. В формате "вопрос-ответ" это долгонько будет.

Почитал уже про сравнения по модулю и понимаю -- как это делается, но все равно пока что связь не могу понять(

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел
Сообщение26.04.2014, 15:08 
Заморожен


20/12/10
5623
Натуральное число сравнимо по модулю 9 с суммой своих цифр. Вот и вся связь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел
Сообщение26.04.2014, 15:28 


11/08/13
126
nnosipov в сообщении #855297 писал(а):
Натуральное число сравнимо по модулю 9 с суммой своих цифр. Вот и вся связь.

Это я понимаю. Но как же это связано с тем, что искомые числа будут остатками от деления на 9?

-- 26.04.2014, 15:28 --

nnosipov в сообщении #855297 писал(а):
Натуральное число сравнимо по модулю 9 с суммой своих цифр. Вот и вся связь.

Это я понимаю. Но как же это связано с тем, что искомые числа будут остатками от деления на 9?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория чисел
Сообщение26.04.2014, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11120
Казань
Что-то у меня ум слегка зашел за разум. Вот есть число, пусть 784. Сумма его цифр - 19. Сумма цифр этого числа - 10. Еще раз - 1. Когда мы прекращаем суммирование? Что общего у всех полученных чисел? (в смысле деления на 9).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group