2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение25.04.2014, 06:03 


10/08/11
671
Формулы Абеля устанавливают, что для любого примитивного решения $(x,y,z)$ уравнения $$x^n+y^n=z^n,\eqno(1)$$
$n$ простое >2, число $z$ будет произведением $ab$ целых чисел
$$a=x+y\eqno(2)$$
и
$$b=\frac{ x^n+y^n}{x+y}\eqno (3)$$
Можно показать, что число $x+y$ является квадратом.
И сначала покажем это для кубов. (Если такой стиль изложения допускается на форуме, то продолжим)

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение25.04.2014, 12:53 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Iasta! Вы допустили опечатку. Часть Формул Абеля для 1 случая ВТФ, которые Вы обозначили пишутся так:

$X + Y = a^P$,

$(X^P + Y^P)/(X + Y) = b^P$,

$Z =ab$, где P - простое нечетное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение25.04.2014, 18:57 


10/08/11
671
vasili в сообщении #854555 писал(а):
Часть Формул Абеля для 1 случая ВТФ, которые Вы обозначили пишутся так:

Уважаемый vasili!
Речь идет только о делимости в общем случае. А основания степеней разложения, как правило, обозначают $u,v$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение26.04.2014, 04:02 


10/08/11
671
Предпосылкой доказательства являлась попытка найти противоречия в свойствах степеней уравнения (1) с простым показателем рассматривая их квадратами (далее в тексте указанные степени будем именовать одним словом – степени). Уравнение (1) было представлено в виде
$$\frac{z^n}{2}-x^n=y^n-\frac{z^n}{2}\eqno(4)$$
Если степени рассматривать как квадраты, то основания степеней в этом случае будут определяться как $x=\sqrt{x^n}; y=\sqrt{y^n};z=\sqrt{z^n}$. При таком определении степеней, уравнение (4) можно разложить по формулам разностей квадратов. Однако, попытка найти общий алгебраический делитель правой и левой части (4) не удалась. И принцип построения уравнения (4) был перенесен на уравнение Ферма для рациональных чисел
$$x^n+y^n=1\eqno(5)$$
Согласно этому уравнению, для всех $(n,m)$, и если пары чисел $(x,y),(r,s)$ удовлетворяют уравнению (5), то справедливо следующее
$$x^n+y^n=r^m+s^m  \eqno(6)$$
Все последующие рассуждения, согласно правилам форума, проведем для кубов. На основании (6)
$$x^3+y^3=r^2+s^2  \eqno(7)$$ Или
$$x^3-s^2=r^2-y^3  \eqno(8)$$ (Если здесь все ясно, то продолжим)

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение26.04.2014, 07:14 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
lasta в сообщении #855037 писал(а):
Если степени рассматривать как квадраты, то основания степеней в этом случае будут определяться как $x=\sqrt{x^n}; y=\sqrt{y^n};z=\sqrt{z^n}$.
Я внимательно читаю тему. Отправить её в Пургаторий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение26.04.2014, 08:32 


10/08/11
671
Deggial в сообщении #855052 писал(а):
Я внимательно читаю тему.

Уважаемый Deggial!
Имелись в виду квадраты с иррациональными основаниями. Правильно будет "то основания квадратов...."
Спасибо за найденную опечатку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение27.04.2014, 04:29 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый Iasta! Если существуют рациональные числа (не равные нулю), удовлетворяющие уравнению
$X^2 + Y^2 =1$, то откуда Вы взяли (как доказали), что $X^n + Y^n = 1$, для $n>2$?.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение27.04.2014, 12:29 


10/08/11
671
vasili в сообщении #855596 писал(а):
то откуда Вы взяли (как доказали), что $X^n + Y^n = 1$, для $n>2$?.

Уважаемый vasili!
Уравнение (5) - для вещественных чисел. В доказательстве же сделана оговорка "если пары чисел $(x,y),(r,s)$ удовлетворяют уравнению (5)..." Решения совершенно разные и, конечно же имелись в виду, - рациональные числа (натуральные дроби).
И пока ни какого доказательства не проводились. Только предпосылки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение27.04.2014, 17:09 


19/04/14
321
Формула 8 меня заинтересовала. Но ваше заявление спороно. Если сможете доказать частные случаи, было бы неплохо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение28.04.2014, 12:27 


27/03/12
449
г. новосибирск
И принцип построения уравнения (4) был перенесен на уравнение Ферма для рациональных чисел
$$x^n+y^n=1\eqno(5)$$

Это Вы пишете. Следовательно Вы доказали (5) для рациональных чисел, для $n >2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение28.04.2014, 12:51 


10/08/11
671
Абель вывел свои формулы прибавляя и отнимая одинаковые члены в уравнение. Используем его прием. Пусть для уравнения (8) выполняется соотношения $x>r>s>y$.
Если отнять и прибавить выражение $\frac {(x^3 -y^3) -(r^2-s^2)}{2}$в уравнении (5) при $n=2$, то получим
$$ r^2+\frac {(x^3 -y^3) -(r^2-s^2)}{2} +s^2-\frac {(x^3 -y^3) -(r^2-s^2)}{2}=1.\eqno(9)$$
Решение уравнения (5) для квадратов существует. И если существует рациональное решение этого уравнения для кубов, то основания кубов и квадратов можно выразить натуральными дробями. Тогда
$$x^3=\frac{X^3}{Z^3}; y^3=\frac{Y^3}{Z^3}\eqno(10)$$
$$r^2=\frac{R^2}{C^2}; s^2=\frac{S^2}{C^2} \eqno(11)$$
в соответствии с этим преобразуем (9)
$$(\frac{R^2}{C^2}+(\frac{X^3-Y^3}{2Z^3} -(\frac{R^2-S^2}{2C^2}))) -(\frac{S^2}{C^2}-(\frac{X^3-Y^3}{2Z^3} -\frac{R^2-S^2}{2C^2}))=1.\eqno(12)$$
В связи с тем, что решения произвольные, допустим, что $Z>C$. Тогда $Z$ делится на $C$. Пусть $Z=C^2Z_1$
$$(\frac{R^2}{C^2}+(\frac{(X^3-Y^3)- Z_1(R^2-S^2)}{2Z^3}))   -(\frac{S^2}{C^2}-(\frac{(X^3-Y^3)- Z_1(R^2-S^2)}{2Z^3}))=1.\eqno(13)$$
Следовательно
$$x^3=\frac{R^2}{C^2}+\frac{(X^3-Y^3)- Z_1(R^2-S^2)}{2Z^3}\eqno(14)$$
$$y^3=\frac{S^2}{C^2}-\frac{(X^3-Y^3)- Z_1(R^2-S^2)}{2Z^3}\eqno(15)$$
Знаменатель кубов уже установлен и равен $Z^3$. следовательно число $2$ сокращается, а $C^2$ делит $Z^3$.
Таким образом доказано, что $Z$ делится на $C^2$
Частным доказательством является известный факт, что один из кубов должен делится на $13$, а для этого числа существует равенство
$$5^2+12^2=13^2$$
После выяснения затруднительных моментов можно продолжить.

-- 28.04.2014, 14:03 --

vasili в сообщении #856225 писал(а):
Это Вы пишете. Следовательно Вы доказали (5) для рациональных чисел, для $n >2$?

Уважаемый vasili!
Уравнение (5) должно быть справедливым для рациональных чисел только в случае существования решения. Это предположение. Если его не делать, то, в общем случае уравнение справедливо для вещественных чисел.
Но, спасибо за замечание. Вы правы. Слова "....для рациональных чисел" лишние.

-- 28.04.2014, 14:13 --

binki в сообщении #855830 писал(а):
Формула 8 меня заинтересовала. Но ваше заявление спороно. Если сможете доказать частные случаи, было бы неплохо!

Уважаемый binki!
Возможно Вы имели слово спорно. Не найду брода, так искупаюсь. Согласен с вами, что заявление должно быть таким: - Предполагаемое направление доказательства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение28.04.2014, 19:16 


10/08/11
671
Числовая ось произвольных $(x^n, y^n);(r^m ,s^m)$ пар решений уравнения (5) (для пояснения формул (8) и (9))
В общем случае
$$\frac{\text{\qquad\qquad}y^n \text{\qquad}s^m\text{\qquad\qquad} 0.5\text{\qquad\qquad}r^m\text{\qquad}x^n \text{\qquad\qquad}}{\text{\qquad\qquad}}$$
И для квадратов и кубов
$$\frac{\text{\qquad\qquad}y^3 \text{\qquad}s^2\text{\qquad\qquad} 0.5\text{\qquad\qquad}r^2\text{\qquad}x^3 \text{\qquad\qquad}}{\text{\qquad\qquad}}$$
В связи с произвольностью выбора пар решений, числа кубов могут быть и в пределах интервала $r^2-s^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение28.04.2014, 20:34 


10/08/11
671
В сообщении 856243 в тексте опечатки, начиная со слов "В связи с тем, что решения произвольные....". Исправленный текст:
В связи с тем, что решения произвольные, допустим, что $Z>C$. Тогда $Z$ делится на $C$. Пусть $Z^3=C^2Z^{3}_1$
$$(\frac{R^2}{C^2}+\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3})   -(\frac{S^2}{C^2}-\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3})=1.\eqno(13)$$
Следовательно
$$x^3=\frac{R^2}{C^2}+\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3}\eqno(14)$$
$$y^3=\frac{S^2}{C^2}-\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3}\eqno(15)$$
Знаменатель кубов уже установлен и равен $Z^3$. следовательно число $2$ сокращается, а $C^2$ делит $Z^3$.
Таким образом доказано, что $Z$ делится на знаменатель $C$ произвольной $r^2,s^2$ пары решения уравнения (5)
Частным доказательством является известный факт, что один из кубов должен делится на $13$, а для этого числа существует равенство
$$5^2+12^2=13^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение29.04.2014, 05:02 


10/08/11
671
Дополним ось необходимыми числами
Для общего случая$$\frac{0\text{\qquad\qquad}y^n \text{\qquad}s^m\text{\qquad\qquad}s^{m}_k\text{\qquad\qquad}0.5\text{\qquad\qquad}r^{m}_{k+1}\text{\qquad\qquad}r^m\text{\qquad}x^n\text{\qquad\qquad}1}{\text{\qquad\qquad}}\rightarrow$$
Для квадратов и кубов
$$\frac{0\text{\qquad\qquad}y^3 \text{\qquad}s^2\text{\qquad\qquad}s^{2}_k\text{\qquad\qquad}0.5\text{\qquad\qquad}r^{2}_{k+1}\text{\qquad\qquad}r^2\text{\qquad}x^3 \text{\qquad\qquad}1}{\text{\qquad\qquad}}\rightarrow$$
Числовая ось наглядно показывает, что любая из $(x^n ,y^n);(s^m ,r^m);  (s^{m}_k , R^{m}_{k+1})$ пар решений уравнения (5) в сумме равна $1$. А также и то, что все пары симметричны относительно числа $0,5$ и относительно друг друга.
Далее нам предстоит выяснить какая из $(u^n , v^n)$ степеней разложения Абеля содержит множитель $c^2$. Поэтому на данном этапе хотелось бы узнать вопросы, возникающие при рассмотрении правильности предполагаемого вывода. Необходима ясность в простых моментов, так как ошибки происходят в элементарном упущении какого либо факта. С удовольствием отвечу на конкретные вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение29.04.2014, 06:19 


10/08/11
671
lasta в сообщении #856591 писал(а):
$(R^{m}_{k+1})$

Опечатка. Правильно $(r^{m}_k)$. И на осях индекс ${k+1}$ считать индексом $k$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group