2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение29.04.2014, 08:40 


10/08/11
671
lasta в сообщении #856421 писал(а):
$$(\frac{R^2}{C^2}+\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3})   -(\frac{S^2}{C^2}-\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3})=1.\eqno(13)$$

Опечатка. Правильно
$$(\frac{R^2}{C^2}+\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3})   +(\frac{S^2}{C^2}-\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3})=1.\eqno(13)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение30.04.2014, 06:22 


10/08/11
671
Для удобства анализа предлагаю объединенную с исправленными опечатками первую часть предполагаемых утверждений.
Формулы Абеля устанавливают,что для любого примитивного решения $(x,y,z)$ уравнения $$x^p+y^p=z^p,\eqno(1)$$
$p$ простое >2, число $z$ будет произведением $ab$ целых чисел
$$a=x+y\eqno(2)$$
и
$$b=\frac{ x^p+y^p}{x+y}\eqno (3)$$
Можно показать, что число $x+y$ является квадратом.
Предпосылкой доказательства являлась попытка найти противоречия в свойствах степеней уравнения (1) с простым показателем, рассматривая их квадратами (далее в тексте указанные степени будем именовать одним словом – степени). Уравнение (1) было представлено в виде
$$\frac{z^p}{2}-x^p=y^p-\frac{z^p}{2}\eqno(4)$$
Если степени рассматривать как квадраты, то основания квадратов в этом случае будут определяться как $x=\sqrt{x^p}; y=\sqrt{y^p};z=\sqrt{z^p}$. При таком определении степеней, уравнение (4) можно разложить по формулам разностей квадратов. Однако, попытка найти общий алгебраический делитель правой и левой части (4) не удалась. И принцип построения уравнения (4) был перенесен на уравнение Ферма $$x^p+y^p=1\eqno(5)$$
Согласно этому уравнению, для всех $(p,m)$, если пары чисел $(x,y),(r,s)$ удовлетворяют уравнению (5), то справедливо следующее
$$x^p+y^p=r^m+s^m,  \eqno(6)$$
$$s^m-y^p=x^p-r^m.  \eqno(7)$$
Ясность соотношений произвольных пар степеней уравнения (5) дает числовая ось
$$\frac{0\text{\qquad\qquad}y^p \text{\qquad}s^m\text{\qquad\qquad} 0.5\text{\qquad\qquad} r^m\text{\qquad}x^p \text{\qquad\qquad}1}{\text{\qquad\qquad}}\rightarrow$$
$$\text{Рис. 1}$$
Согласно (7) и Рис 1 справедливо, что
$$ s^m-y^p=x^p-r^m = \frac{(x^p-y^p)-(r^m-s^m)}{2},  \eqno(8)$$
а
$$x^p = r^m + \frac{(x^p-y^p)-(r^m-s^m)}{2},  \eqno(9)$$
$$ y^p= s^m-\frac{(x^p-y^p)-(r^m-s^m)}{2}  \eqno(10)$$
И их сумма
$$x^p+y^p= (r^m + \frac{(x^p-y^p)-(r^m-s^m)}{2})+ ( s^m-\frac{(x^p-y^p)-(r^m-s^m)}{2})  \eqno(11)$$
Абель вывел свои формулы прибавляя и отнимая одинаковые члены в уравнении. При выведение формулы (11) использован такой же прием.
(11) позволяет проведение доказательств важных утверждений для общего случая. Но, согласно правилам форума, (11) преобразуется в уравнение для кубов
$$x^3+y^3= (r^2 + \frac{(x^3-y^3)-(r^2-s^2)}{2})+ ( s^2-\frac{(x^3-y^3)-(r^2-s^2)}{2})  \eqno(12)$$
Числовая ось для кубов и квадратов
$$\frac{0\text{\qquad\qquad}y^3 \text{\qquad}s^2 \text{\qquad\qquad}0.5\text{\qquad\qquad}r^2\text{\qquad}x^3 \text{\qquad\qquad}1}{\text{\qquad\qquad}}\rightarrow$$
$$\text{Рис.2}$$
Решение уравнения (5) для квадратов существует. И если существует рациональное решение этого уравнения для кубов, то основания кубов и квадратов можно выразить натуральными дробями. Тогда,
$$x^3=\frac{X^3}{Z^3}; \text{\qquad\qquad}y^3=\frac{Y^3}{Z^3}\eqno(13)$$
$$r^2=\frac{R^2}{C^2};\text{\qquad\qquad} s^2=\frac{S^2}{C^2} \eqno(14)$$
в соответствии с этим уравнение (12) примет вид
$$x^3+y^3=(\frac{R^2}{C^2}+(\frac{X^3-Y^3}{2Z^3} -\frac{R^2-S^2}{2C^2})) +(\frac{S^2}{C^2}-(\frac{X^3-Y^3}{2Z^3} -\frac{R^2-S^2}{2C^2}))\eqno(15)$$
Пусть $Z>C$. Тогда, $Z$ делится на $C$. То есть $Z^3=C^2 Z^{3}_1$. ( Случай $C>Z$ рассматривается аналогично, но в этом случае $Z$ становится делителем $C$). Тогда,
$$x^3+y^3=(\frac{R^2}{C^2}+\frac{(X^3-Y^3)- Z^3_1(R^2-S^2)}{2Z^3})   +(\frac{S^2}{C^2}-\frac{(X^3-Y^3)- Z^3_1(R^2-S^2)}{2Z^3})\eqno(16)$$
Следовательно,
$$x^3=\frac{R^2}{C^2}+\frac{(X^3-Y^3)- Z^3_1(R^2-S^2)}{2Z^3}\eqno(17)$$
Выражение $(X^3-Y^3)- Z^3_1(R^2-S^2)$ всегда четно. Так как числа $R,S$ для квадратов всегда разной четности, а число $(X^3-Y^3)$ одинаковое по четности с $Z^3_1$, которое в свою очередь одинаковое по четности с $Z$. Следовательно, число $2$ в (16) сокращается.
Знаменатель кубов согласно (13) равен $Z^3$. И в (17) наименьший общий знаменатель должен быть таким же. Значит и с этой стороны подтверждается, что $C^2$ делит $Z^3$.
Следовательно, $Z$ делится на $C$ - знаменатель произвольной $(s , r)$ пары (для показателя $p= 2$) решения уравнения (5).
Частным доказательством является известный факт (который разбирался на форуме), что один из кубов делится на $13$. Для этого числа существует равенство
$$5^2+12^2=13^2 ,$$ которое может быть использовано в качестве числового примера в уравнении (13)

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение30.04.2014, 10:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
lasta в сообщении #857057 писал(а):
Формулы Абеля устанавливают,что для любого примитивного решения $(x,y,z)$ уравнения $$x^p+y^p=z^p,\eqno(1)$$
$p$ простое >2, число $z$ будет произведением $ab$ целых чисел
$$a=x+y\eqno(2)$$
и
$$b=\frac{ x^p+y^p}{x+y}\eqno (3)$$


Чепуха! Формулы Абеля здесь не при чем. Это школьная алгебра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение30.04.2014, 10:26 


10/08/11
671
shwedka в сообщении #857102 писал(а):
Это школьная алгебра.

Уважаемая shwedka!
Большое спасибо за то, что прочитали сообщение!
Полностью согласен с Вами. Смею добавить только то, что вывод Формул Абеля начинается со школьной алгебры. А именно с добавления сокращаемых членов в простейшее уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение30.04.2014, 10:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
lasta в сообщении #857057 писал(а):
Можно показать, что число $x+y$ является квадратом.


Вы это показать не можете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение30.04.2014, 11:56 


10/08/11
671
shwedka в сообщении #857112 писал(а):
Вы это показать не можете.

shwedka в сообщении #857112 писал(а):
Вы это показать не можете.

Спасибо, что обратили на это внимание. Подготовлена заключительная часть сообщения, где этот факт будет рассмотрен.
и заключительная часть будет опубликована после устранения трудностей понимания данного сообщения. Пишу экспромтом, экономя время, но так его теряю только.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение01.05.2014, 10:21 


10/08/11
671
lasta в сообщении #857159 писал(а):
Подготовлена заключительная часть сообщения

Рассмотрим утверждение, что сумма $x+y$ является квадратом. На это утверждение сразу обратили внимание Заслуженный участник Shwedka и участник Binki. Вопрос интересен тем, что его рассмотрение облегчит понимание затруднительных мест изложения первой части сообщения.
Известно, что для любого рационального основания квадрата найдется другое, также рациональное, и такое, что сумма этих квадратов будет также квадратом. Следовательно, шаг последовательности квадратов, может быть каким угодно малым рациональным числом. Поясним существование другого квадрата на формулах. Из равенства
$$s^2_i=2r_id+d^2\eqno(18)$$
Следует, что рациональное основание $r_i$- другого квадрата, составляющего пару для решения уравнения
$$r^2_i+s^2_i=1, \eqno(19)$$
Определяется как
$$r_i=\frac {s^2_i-d^2}{2d},\eqno(20)$$
Все числа правой части (20) рациональны, следовательно $r_i$ также рационален.
Этот элементарный факт является важным моментом. Поэтому, несмотря на такую подробную детализацию, покажем последовательности квадратов, составляющих решение (19) на числовой оси
$$\frac{0\text{\qquad\qquad}s^{2}_i\text{\qquad} s^{2}_3;\text{\quad} s^{2}_2;\text{\quad} s^{2}_1 \text{\qquad\qquad}0.5\text{\qquad\qquad} r^{2}_1;\text{\quad} r^{2}_2;\text{\quad} r^{2}_3\text{\qquad}r^2_i \text{\qquad\qquad}1}{\text{Рис. 3}}\rightarrow$$
В связи как угодно малым шагом последовательности указанных квадратов и симметричности их расположения относительно числа 0,5 , пара кубов (если они существуют), также симметричная, будет отличаться как угодно мало от ближайшей симметричной пары квадратов и в пределе каждый куб будет равен соответствующему квадрату. Но, заключение делать, что сумма $x+y$ является квадратом, пока еще рано. Она все таки еще отличается, пусть бесконечно малым, но отличается. Но, бесконечно малые уже существуют. и это очень хорошо. Они (бесконечно малые) при переходе к (1), если существуют целые решения, могут превратить эти решения в бесконечно большие целые числа.
Далее. Рассмотрим $U^3,V^3$- кубы разложения правой части (1) по формулам Абеля. Известно, что указанные кубы взаимно просты. Если рассматривать (1) для кубов в целых числах, то, не нарушая общности, можно принять, что на $3$ делится правая часть (1). В этом случае $U^3=3 (X+Y)$. Числа (a,b) не взаимно просты. Поэтому если число $a=(X+Y)=3^{3F-1}$, то это квадрат. Во всех других случаях данный квадрат имеет вещественное основание.
Действительно, в этом случае
$$b=(X+Y)^2-3(X+Y)Y+3Y^2=3\cdot(\frac{(X+Y)^2}{3}-(X+Y)Y +Y^2).\eqno(21)$$ Других делителей (кроме числа 3 и числа $V^3$ - выражения в скобках равенства (21)) не существует, так как числа $(X+Y)$ и $(X,Y)$ взаимно просты.
Тогда, $U^3=3 (X+Y)$. Поэтому если число $a=(X+Y)=3^{3F-1}$, то это квадрат.
Следовательно, в рассматриваемом случае степени разложения по формулам Абеля
$$U^3=3 (X+Y)=3\cdot3^{3F-1}\eqno(23)$$
$$V^3=\frac{(X+Y)^2}{3}-(X+Y)Y +Y^2.\eqno(24)$$
Равенство (23) (24) не противоречит тому, что сумма $(X+Y)$ может быть квадратом. Однако, (как было показано выше) в силу делимости $Z^3$ на произвольный делитель и в силу возможного существования равных остатков кубов и их оснований при их делении на произвольное число не равное 3, указанная сумма оснований будет иметь этот произвольный делитель в виде куба. Поэтому рассматриваемая сумма, может быть квадратом только с вещественным основанием.
Следует особо подчеркнуть, что на указанный произвольный делитель, делиться выбранный конкретный куб. И что все рассуждения по кубам применимы для степеней с любым показателем. Поэтому в результате сделанных выводов по свойствам формул Абеля, вытекает и предполагаемое направление доказательства ВТФ.
Столь подробная детализация объясняется тем, что при доказательстве одного из утверждений в более ранних сообщениях, не принял дельный совет Заслуженного участника Annanova по поиску пересечений двух разных множеств, поскольку посчитал, что сделанные утверждения и так очевидны. Однако, сам Annanova не верил в нахождении в этом направлении каких либо решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение01.05.2014, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Цитата:
Рассмотрим утверждение, что сумма $x+y$ является квадратом.

В результате долгих пустых разговоров,
Ваше утверждение осталось недоказанным. Вы не можете его доказать.

Цитата:
и в пределе каждый куб будет равен соответствующему квадрату.

Бессмысленное заявление. Слова 'в пределе ' и 'каждый' семантически несовместимы.
'соответствие' не установлено.
Цитата:
Рассмотрим $U^3,V^3$- кубы разложения правой части (1) по формулам Абеля. Известно, что указанные кубы взаимно просты.

Не известно! Только в Первом Случае ВТФ3.
Цитата:
бесконечно большие целые числа.

Понятие не определено!
Цитата:
Однако, (как было показано выше) в силу делимости $Z^3$ на произвольный делитель
Показано не было.
Цитата:
Поэтому рассматриваемая сумма, может быть квадратом только с вещественным основанием.

Любое пшоложительноое число-квадрат с вещественным основанием.

К Администрации: Текст ТС представляет собой поток несвязных,недоказанных и часто лишенных смысла заявлений.
Типичный случай для Пургатория.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение01.05.2014, 17:37 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
shwedka, благодарю.
 !  Тема переносится в Пургаторий по вышеописанной причине.
lasta, предупреждение за размещение на форуме бессвязного, бессмысленного, мутного текста.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group