2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Различие между принципами Ферма и геодезических
Сообщение24.04.2014, 14:52 


04/01/10
77
Рассмотрим метрику Гёделя

$ds^{2}=dt^{2}-dr^{2}-dz^{2}+2e^{\sqrt{2}\omega r}dtdy
+\frac{1}{2}e^{2\sqrt{2}\omega r}dy^{2},$ (1)

где $\omega$ постоянная.
В статьях
http://pubs.sciepub.com/ijp/1/1/1/index.html ,
http://article.sapub.org/10.5923.j.ijtm ... 02.03.html
показано, что принцип Ферма для стационарных метрик тождественен принципу экстремального интеграла энергии светоподобной частицы при ее свободном движении. Лагранжиан в этом вариационном методе берется в виде
$L=\left(g_{11}\frac{dx^{1}}{d\mu}\right)^{-1}\left\lbrace
g_{1k}\frac{dx^{k}}{d\mu}\pm\left[(g_{1k}g_{1q}-
g_{11}g_{kq})\frac{dx^{k}}{d\mu}\frac{dx^{q}}{d\mu}\right]^{1/2}\right\rbrace.$
Обобщенные импульсы имеют следующий вид
$p_{\lambda}=\frac{\partial L}{\partial
v^{\lambda}}=\frac{v_{\lambda}}{v^{1}v_{1}},$
см. также http://ummaspl.narod.ru/variat.doc .
В результате для пространства Гёделя получаем постоянные движения
$p_1=\frac{1}{v^{1}},$
$p_3=\frac{e^{\sqrt{2}\omega r}v^{1}+\frac{1}{2}e^{2\sqrt{2}\omega
r}v^{3}}{v^{1}\left(v^{1}+e^{\sqrt{2}\omega r}v^{3}\right)}, $
$p_4=-\frac{v^{4}}{v^{1}\left(v^{1}+e^{\sqrt{2}\omega
r}v^{3}\right)}. $
Отсюда с учетом условия для вектора 4-скорости, следующего из (1), получаем
$\frac{dt}{d\mu}=\frac{1}{p_{1}},$
$\frac{dr}{d\mu}=\pm\frac{\left[4p_{1}p_{3}e^{\sqrt{2}\omega
r}-(p_1^{2}+p_{4}^2)e^{2\sqrt{2}\omega
r}-2p_{3}^2\right]^{1/2}}{p_{1}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}-2p_{3}\right)},$
$\frac{dy}{d\mu}=2\frac{p_{3}-p_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}}{p_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}-2p_{3}\right)},$
$\frac{dz}{d\mu}=\frac{p_{4}e^{\sqrt{2}\omega
r}}{p_{1}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2p_{3}\right)}. $
Запишем скорости как производные пространственных координат по времени в координатной системе отсчета
$ \dot{r}=\pm\frac{\left[4p_{1}p_{3}e^{\sqrt{2}\omega
r}-(p_1^{2}+p_{4}^2)e^{2\sqrt{2}\omega
r}-2p_{3}^2\right]^{1/2}}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}-2p_{3}\right)},$ (2)
$ \dot{y}=2\frac{p_{3}-p_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}}{e^{\sqrt{2}\omega r}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}-2p_{3}\right)},$ (3)
$ \dot{z}=\frac{p_{4}e^{\sqrt{2}\omega
r}}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2p_{3}\right)}. $ (4)
В принципе геодезических лагранжиан для пространства Гёделя следующий
$L_g=(u^1)^2-(u^2)^{2}-(u^4)^{2}+2e^{\sqrt{2}\omega r}u^1u^3
+\frac{1}{2}e^{2\sqrt{2}\omega r}(u^3)^{2},$
где индексы вектора 4-скорости k,q=2,3,4 соответствуют пространственным координатам. Находя частные производные $L_g$ по компонентам 4-скорости, получаем обобщенные импульсы. Для координат t,y,z они будут постоянными движения $\tilde{p}^i $. Вместе с условием $L_g=0$ они дают 4 уравнения для определения 4-скоростей $u^i$, из которых находятся соответствующие принципу геодезических скорости

$ \dot{r}_g=\pm\frac{\left[20\tilde{p}_{1}\tilde{p}_{3}e^{\sqrt{2}\omega
r}-(\tilde{p}_1^{2}+\tilde{p}_{4}^2)e^{2\sqrt{2}\omega
r}-2\tilde{p}_{3}^2\right]^{1/2}}\left(\tilde{p}_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}-2\tilde{p}_{3}\right)},$ (5)
$ \dot{y}_g=2\frac{\tilde{p}_{3}-\tilde{p}_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}}{e^{\sqrt{2}\omega r}\left(\tilde{p}_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}-2\tilde{p}_{3}\right)},$ (6)
$ \dot{z}_g=\frac{\tilde{p}_{4}e^{\sqrt{2}\omega
r}}\left(\tilde{p}_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2\tilde{p}_{3}\right)}. $ (7)

Скорости вдоль координат z и у, получаемые обоими методами, (3) и (6), (4) и (7) одинаковы, а скорости вдоль радиальной координаты (2) и (5) различны. Это служит решающим доказательством отличия принципа Ферма от принципа геодезических.

После того как в 1914 году Эйнштейн опубликовал общую теорию относительности, включив туда утверждение о том, что свет движется вдоль геодезических, в 19 году итальянские математики Палатини и Де-Зуани показали, что следует отличать статическое пространство-время от стационарного с неравными нулю коэффициентами $g_{1k}$. Я не читал этих работ, но как следует из книги Паули, Теория относительности, 1921, в них предположительно содержались результаты, из которых можно сделать вывод о различии принципов геодезических и Ферма. В дальнейшем,Эйнштейн не распространял принцип геодезических на движение световых лучей. Эти результаты старались не замечать сторонники полной и всеобщей ковариантности. И в книге Паули, переизданной в 1956 году упоминание об этих работах отсутствует. Однако без особого привлечения внимания изучение принципа Ферма в криволинейном пространстве продолжалось. Румер в книге Исследования по 5-оптике писал, что принцип Ферма справедлив для стационарных пространств. Однако в общем случае применение принципа Гамильтона, излагаемое в его книге, сомнительно, поскольку он берет в качестве функции Гамильтона первую компоненту вектора скорости. Аналогичную ошибку допускает и Фок. В ЛЛ2 приведены принципы и геодезических, и Ферма, но не дается их сравнения. Наиболее подробно результаты по исследованию принципа Ферма, в том числе, и для пространства Керра приведены в V. Perlik, Gravitational Lensing from a Spacetime Perspective, Living Rev. Relativity 7, 9(2004).
Хотя в формулировке принципа экстремального интеграла энергии светоподобной частицы не требуется стационарность метрики, получаемые уравнения движения светоподобной частицы в пустом пространстве не всегда имеют решения. Вполне возможно, что существование таких решений ограничивается случаями, когда имеются решения для принципа Ферма, то есть, для комфорно-стационарных метрик.
Еще до создания теории относительности Гильберт сформулировал одну из своих проблем как в каких метриках прямые являются геодезическими. Однако эта формулировка была признана слишком расплывчатой. В рамках ОТО ее можно было бы переформулировать: в каких пространствах свет движется по геодезическим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Различие между принципами Ферма и геодезических
Сообщение06.09.2016, 12:19 


04/01/10
77
Показано, что плоские электромагнитные волны перемещаются по нулевым геодезическим в невращающемся сферически-симметричном пространстве-времени. Но в других случаях это выполняется не всегда: http://arxiv.org/abs/1608.06572,
и еще о движении светового луча topic75064.html .

 Профиль  
                  
 
 Re: Различие между принципами Ферма и геодезических
Сообщение06.09.2016, 15:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/11/17
63897
За счёт чего отклонение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Различие между принципами Ферма и геодезических
Сообщение06.09.2016, 20:13 


04/01/10
77
Перлик рассматривает причину отклонения как действие силы на световой луч, аналогичной силе Лоренца в электродинамике http://relativity.livingreviews.org/ope ... esu15.html . То есть, движение по геодезической не будет давать экстремальное расстояние для свободно движущейся в таком пространстве-времени световой частицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Различие между принципами Ферма и геодезических
Сообщение06.09.2016, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/11/17
63897
Ой, это уже плохо попахивает.

Вот если бы речь шла о том, что поляризация света взаимодействует с "вращающимся" п.-в., я бы сразу поверил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group