2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Знакомство с умножением матриц
Сообщение24.04.2014, 09:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3046
Уфа
Часто концепция умножения матриц является таким небольшим камнем преткновения для студентов. Тема плохо усваивается, забываются определения, путаются строки со столбцами и т.п. Ну, по крайней мере, со мной так было, я несколько вальяжно относился к предметам на 1 курсе, ой да что там может быть сложного? Проблема невелика, конечно, последующие курсы заставят освоить эту тему or die. И всё-таки, нет причин не облегчать усвоение любой темы.
Вот этот рисунок (взял из Википедии) был для меня некоторым откровением:
Изображение
Мне кажется, это первое, что должен видеть студент по этой теме, да и в дальнейшем эта схема должна более активно эксплуатироваться (в случае со мной это было не так, я увидел этот рисунок гораздо позже). Такой подход, как мне представляется, имеет ряд преимуществ:
1) Оказывается, мы с детства знакомы с перемножением матриц. Таблица умножения — не что иное, как произведение матрицы-вектора-столбца на матрицу-вектор-строку. Только "вектора" могут быть толще, или, другими словами, произведение матриц — это просто сумма нескольких таблиц умножения.
2) Мгновенно запоминается, что умножается "строка на столбец" и что "число столбцов в левой матрице равняется числу строк в правой". Если усвоить картинку, потом уже ничего нельзя перепутать.
3) А что будет, если поменять местами $A$ и $B$? Для случая таблицы умножения получается (опять со школы знакомое) скалярное произведение векторов, вау, это тоже частный случай перемножения матриц. Сразу видно, что умножение некоммутативно. Хотя для квадратных матриц, всё-таки, не сразу.
4) Ассоциативность, к сожалению, тоже не очевидна, нужно писать формулы. Но, хотя бы по размерностям видно: если $A$ можно умножить на $B$, а $B$ — на $C$, то $A$ умножаемо на $BC$, а $AB$ — на $C$.
5) Ранг можно сразу давать через decomposition rank: минимальная "толщина" сомножителей, на которые можно разложить матрицу. А уже потом показывать, что он равен "рангу по строкам" и "рангу по столбцам". Придётся, правда, сплясать вокруг нулевого ранга, но выгод, имхо, больше.

Может, мне просто не повезло, а эта схема и так уже достаточно активно используется?
Или у неё есть неочевидные изъяны, из-за которых предпочтителен более "формульный" подход?

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакомство с умножением матриц
Сообщение24.04.2014, 10:07 


28/11/11
2884
Я люблю картинки, но конкретно эта для меня не была бы помощью.

worm2 в сообщении #853730 писал(а):
Или у неё есть неочевидные изъяны, из-за которых предпочтителен более "формульный" подход?

Картинка не самодостаточна. Нужно дополнительно помнить про умножение и суммирование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакомство с умножением матриц
Сообщение24.04.2014, 10:10 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
worm2 в сообщении #853730 писал(а):
Мне кажется, это первое, что должен видеть студент по этой теме, да и в дальнейшем эта схема должна более активно эксплуатироваться (в случае со мной это было не так, я увидел этот рисунок гораздо позже).
Конечно, такую картинку надо показать, а уж потом формулу писать. По моим ощущениям, студентов, которые не понимают умножения матриц (не могут перемножить), немного, даже очень мало. Один-два примера, и это уже трудно забыть. Ну а с рангами вопрос, конечно, более сложный, это требует заметных усилий. Здесь типичный ответ --- ранг это число строк (столбцов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакомство с умножением матриц
Сообщение24.04.2014, 14:48 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
worm2 в сообщении #853730 писал(а):
4) Ассоциативность, к сожалению, тоже не очевидна, нужно писать формулы. Но, хотя бы по размерностям видно: если $A$ можно умножить на $B$, а $B$ — на $C$, то $A$ умножаемо на $BC$, а $AB$ — на $C$.
Ассоциативность станет ясна, когда будет показано, что $(AB)\mathbf x = A(B\mathbf x)$, а этот частный случай проще (кажется; не помню) доказать, чем общее $(AB)C = A(BC)$, а раз вокруг и так обычно при этом линейная алгебра, всё должно легко пройти, если порядок правильный, и доказательство для $C = \mathbf x$ можно будет разложить в доказательство для столбца $[0^{(m)},1,0^{(n)}]^\top$. Хотя это, наверно, не сильно убыстрит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакомство с умножением матриц
Сообщение24.04.2014, 14:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Для меня эта картинка является запутывающей. А "понимаю" я умножение матриц иначе. За основу взято не умножение матрицы на матрицу, а умножение матрицы на столбец. Умножение матрицы на матрицу - это много умножений матрицы на столбец: $AB=A[b_1\,b_2\,b_3]=[Ab_1\,Ab_2\,Ab_3].$ Умножение матрицы на столбец очень хорошо понятно и в абстрактном смысле (на вектор действует линейное отображение, иногда в другое пространство другой размерности), и в техническом - как считать (поясняющую картинку я приводил, могу повторить, но пока не буду, чтобы две картинки не мешались в голове у читающих тему).

На предлагаемой картинке внимание акцентируется на тех размерностях матриц-сомножителей, которые друг другу не соответствуют. А для меня важнее оказалось акцентировать внимание на тех размерностях, которые друг другу соответствуют. Остальное "само как-то образуется": если вам надо сложить куда-то $m\times n$ результатов, то они сами по себе свалятся в прямоугольник.

Ассоциативность в моём случае очевидна. И это достаточно большой плюс.

Ранг тоже важно понять в абстрактном смысле, а в техническом (decomposition rank) - не столь важно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакомство с умножением матриц
Сообщение24.04.2014, 16:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
arseniiv в сообщении #853863 писал(а):
. Хотя это, наверно, не сильно убыстрит?

Боюсь, что сильно замедлит. Ассоциативность лучше доказывать тупо в лоб:

$$(A(BC))_{il}=\sum\limits_ka_{ik}(BC)_{kl}=\sum\limits_ka_{ik}\left(\sum\limits_jb_{kj}c_{jl}\right)=\sum\limits_j\left(\sum\limits_ka_{ik}b_{kj}\right)c_{jl}=\sum\limits_j(AB)_{ij}c{jl}=((AB)C)_{il}$$

Это полезно проделать просто для того, чтобы приучить к формальным манипуляциям со значками и к тому, что за этими манипуляциями стоит (раскрытие скобок, перегруппировка слагаемых и снова вынесение за скобки).

Конечно, гораздо проще сослаться на то, что ассоциативность для операторов тривиальна. Однако операторы -- более сложное (точнее, более абстрактное) понятие и вводится уже позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакомство с умножением матриц
Сообщение24.04.2014, 17:01 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Как будто и правда коротко. :-)
(В сторону.) Но матрицы, которые можно умножать, всегда являются операторами!

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакомство с умножением матриц
Сообщение24.04.2014, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

ewert в сообщении #853976 писал(а):
Конечно, гораздо проще сослаться на то, что ассоциативность для операторов тривиальна. Однако операторы -- более сложное (точнее, более абстрактное) понятие и вводится уже позже.

Чего в нём сложного? С функциями все со школы знакомы. А оператор - это просто такая функция. Ассоциативность композиции для функций тривиальна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакомство с умножением матриц
Сообщение24.04.2014, 18:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Munin в сообщении #854004 писал(а):
А оператор - это просто такая функция.

Совершенно верно. Однако его ещё пока что нет, увы. Тем более ещё нет матрицы оператора и даже оператора умножения на матрицу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакомство с умножением матриц
Сообщение24.04.2014, 18:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Вводя умножение матрицы на столбец, мы вводим и оператор на столбцах - функцию. И у нас сразу автоматически в подарок ассоциативность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакомство с умножением матриц
Сообщение24.04.2014, 18:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Munin в сообщении #854053 писал(а):
Вводя умножение матрицы на столбец, мы вводим и оператор на столбцах - функцию.

Нет, не вводим; это преждевременно и сильно отвлекает.

А вот с чем я согласен -- так это с тем, что умножение матрицы на столбец (как частный случай умножения вообще) хорошо стимулируется потребностью формализовать запись линейных систем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакомство с умножением матриц
Сообщение24.04.2014, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

ewert в сообщении #854060 писал(а):
Нет, не вводим; это преждевременно и сильно отвлекает.

Я пропустил слово "тем самым". То, что это функция, очевидно. Подробно говорить о её свойствах и не надо, достаточно заметить, что это функция.

ewert в сообщении #854060 писал(а):
А вот с чем я согласен -- так это с тем, что умножение матрицы на столбец (как частный случай умножения вообще) хорошо стимулируется потребностью формализовать запись линейных систем.

Я этого, вроде, и не провозглашал.

Это соответствует историческому ходу возникновения линейной алгебры, примерно в 19 веке. Но я не сторонник излагать логику предмета по его истории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакомство с умножением матриц
Сообщение24.04.2014, 21:11 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
ewert в сообщении #854060 писал(а):
Нет, не вводим; это преждевременно и сильно отвлекает.
А разве матрицы не вводятся почти вместе с их умножением на столбцы? Какой смысл в матрице, если она просто стоит? :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакомство с умножением матриц
Сообщение24.04.2014, 22:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
arseniiv в сообщении #854168 писал(а):
А разве матрицы не вводятся почти вместе с их умножением на столбцы?

Нет.

Тут чисто технологический момент. Алгебраические операции над матрицами -- это вещь в себе, и достаточно увесистая. Непосредственный стимул к их (матриц) введению -- это необходимость формализации систем линейных уравнений. Именно самих систем; от их формализации, и даже от соотв. формализации элементарных операций метода Гаусса, до умножения матрицы на столбец -- довольно далеко. Это уже следующий уровень. Жить же надо здесь и сейчас.

-- Чт апр 24, 2014 23:18:22 --

Munin в сообщении #854069 писал(а):
То, что это функция, очевидно.

Это Вам очевидно. Школьники же (а речь именно о вчерашних школьниках) с векторными функциями векторного аргумента никогда в жизни не сталкивались. На математике -- не сталкивались абсолютно; на физике -- если и сталкивались, то лишь как с неким абстрактным набором набором значков. Им нужно к этому понятию как минимум привыкнуть. Между тем в курсе линейной алгебры -- время не ждёт; там нужен результат здесь и сейчас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакомство с умножением матриц
Сообщение24.04.2014, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #854231 писал(а):
Это Вам очевидно. Школьники же (а речь именно о вчерашних школьниках) с векторными функциями векторного аргумента никогда в жизни не сталкивались.

Ну, с определением функции-то они хотя бы сталкивались?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group