2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неопределенный интеграл
Сообщение19.04.2014, 22:22 


03/02/14
128
Здравствуйте, помогите , пожалуйста, разобраться с одним интегралом:
$\int \frac{1}{\cos^5 x}dx=\int \cos x (1+\tg^2 x)^3dx =... $ Заменяем $t=\tg x, x=\arctg x, dx=\frac{1}{1+t^2}dt$ Получеам:
$...=\int \frac{1}{{1+t^2}^{3/2}}dt+3\int \frac{t^2}{{1+t^2}^{3/2}}dt+3\int \frac{t^4}{{1+t^2}^{3/2}}dt+\int \frac{t^6}{{1+t^2}^{3/2}}dt$ Далее применяя интегрирование по частям и небольшие преобразования получаем :

$\int \frac{1}{{1+t^2}^{3/2}}dt+3\int \frac{t^2}{{1+t^2}^{3/2}}dt+3\int \frac{t^4}{{1+t^2}^{3/2}}dt+\int \frac{t^6}{{1+t^2}^{3/2}}dt=(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}})- 3 (\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}+\operatorname{arsh} t) + \frac{3}{2}(\frac{t^3+3t}{\sqrt{t^2+1}}-3\operatorname{arsh} t) + \frac{1}{8}(\frac{2t^5-5t^3+3t}{\sqrt{t^2+1}}+15\operatorname{arsh} t) + \operatorname{const}= \frac{2\tg^5 x+7\tg^3 x+5\tg x}{8\sqrt{1+\tg^2 x}}+\frac{3}{8}\operatorname{arsh} \tg x + \operatorname{const}$
И вроде бы каждый шаг проверил через вольфрам, все сходится, но проблема в том, что я не могу вернутся к исходному выражению через производную :facepalm: и вольфрам на итоговое выдает что-то другое, в связи с чем прошу помочь упростить как-нибудь мое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение19.04.2014, 22:31 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ssheh в сообщении #851950 писал(а):
в связи с чем прошу помочь упростить как-нибудь мое решение.

Неохота.

Домножьте числитель и знаменатель в исходном интеграле на косинус. И вперед.

Куда Вы с этим тангенсом? будто никто никогда не учил, когда какие триг. замены делать. Демидович есть? откройте, вспомните.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение19.04.2014, 22:45 


03/02/14
128
Otta в сообщении #851952 писал(а):
Ssheh в сообщении #851950 писал(а):
в связи с чем прошу помочь упростить как-нибудь мое решение.

Неохота.

Домножьте числитель и знаменатель в исходном интеграле на косинус. И вперед.

Куда Вы с этим тангенсом? будто никто никогда не учил, когда какие триг. замены делать. Демидович есть? откройте, вспомните.

По-моему не всегда можно обойтись всем известными заменами, но даже применяя их, я не нашел легче пути, чем этот и , кстати, началось все именно с того, что я домножил знаменатель и числитель на косинус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение19.04.2014, 22:52 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ssheh в сообщении #851957 писал(а):
По-моему не всегда можно обойтись всем известными заменами,

Но это не тот случай.
Ssheh в сообщении #851957 писал(а):
началось все именно с того, что я домножил знаменатель и числитель на косинус.

И что же Вас остановило?

Видите ли, разумеется, нет никакого запрета на выбор замены. Есть лишь естественное к ним требование - они должны приводить интеграл к лучшему виду, чем был. Ваши же - каждый в отдельности - довольно тяжелы в счете. Если Вы их считали ручками, то должны бы знать об этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение19.04.2014, 23:00 


03/02/14
128
Otta в сообщении #851961 писал(а):
Ssheh в сообщении #851957 писал(а):
По-моему не всегда можно обойтись всем известными заменами,

Но это не тот случай.
Ssheh в сообщении #851957 писал(а):
началось все именно с того, что я домножил знаменатель и числитель на косинус.

И что же Вас остановило?

Видите ли, разумеется, нет никакого запрета на выбор замены. Есть лишь естественное к ним требование - они должны приводить интеграл к лучшему виду, чем был. Ваши же - каждый в отдельности - довольно тяжелы в счете. Если Вы их считали ручками, то должны бы знать об этом.

Попробовал поискать в Демидовиче, там лаконично написано: Интегралы вида $\int \cos^n x \sin^m x$ вычисляются с помощью искусственных преобразований или применения формул понижения, что в некотором роде сделал и я(по крайней мере начал я именно с этого).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение19.04.2014, 23:04 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Это для натуральных показателей $n, m$. Дальше читайте. Демидовича нету, страницу не скажу, но дальше.
На самом деле, Ваша первая идея - домножение на косинус - и есть нужное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение19.04.2014, 23:11 


03/02/14
128
Otta в сообщении #851966 писал(а):
Это для натуральных показателей $n, m$. Дальше читайте. Демидовича нету, страницу не скажу, но дальше.
На самом деле, Ваша первая идея - домножение на косинус - и есть нужное.


Как раз таки там написано, где n и m - целые числа и снизу есть пример похожий на мой, но со степенью 3. Я посмотрел, как он решается, но все-таки тут степень играет небольшую роль и по аналогии не проходит

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение19.04.2014, 23:12 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Почему это не проходит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение19.04.2014, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
В демидовиче чуть дальше перечислены подстановки, рационализирующие интеграл. Указано, когда брать синус, косинус, тангенс или универсальную подстановку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение20.04.2014, 06:12 


16/03/14
37
${{3\,\log \left(\sin x+1\right)}\over{16}}-{{3\,\log \left(\sin x-1
 \right)}\over{16}}-{{3\,\sin ^3x-5\,\sin x}\over{8\,\sin ^4x-16\,
 \sin ^2x+8}}$ - это решение в Maxima

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение20.04.2014, 08:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Да уж, не человеческое решение!
Но явно полученное стандартной заменой (синус)

-- 20.04.2014, 09:59 --

Можно еще так попробовать: $\int\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^5x}dx$. Получаем сумму, первый интеграл берем по-частям.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group