2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 вопрос про сюръективность функции (ДМ)
Сообщение18.04.2014, 21:32 


11/04/08
607
Марс
Сразу предупреждаю, что вопрос этот скорее терминологический, чем по сути. Дело в том, что поставлен он в учебнике по дискретной математике и в оригинале звучит так:
Цитата:
Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$ , отображающая множество действительных чисел $R$ во множество действительных чисел, $R \to R$. Является ли эта функция сюръективной, инъективной, биективной?

Вот здесь я не понял, можем ли мы вообще рассматривать эту функцию как функцию $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, если областью её определения и соответственно областью значений является только $[0,+\infty)$?
В общем я бы ответил как инъективна, но не сюръективна и не биективна. Или я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: вопрос про сюръективность функции (ДМ)
Сообщение19.04.2014, 08:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11242
Казань
Есть разные подходы к этому вопросу. Но если считать, что при задании функции надо указывать "точную" область определения, то корень в таком виде вообще не функция. Но ведь у вас нет вопроса "Функция ли это?"

 Профиль  
                  
 
 Re: вопрос про сюръективность функции (ДМ)
Сообщение20.04.2014, 01:25 


11/04/08
607
Марс
На всякий случай приведу определения из источника, хотя сомневаюсь, что это прояснит ситуацию, поскольку мне они кажется весьма запутанными (если рассматривать в совокупности с задачей):

Цитата:
Функцией называется любое бинарное отношение, которое не содержит двух пар с равными первыми компонентами и различными вторыми.
Если $f$ – функция, то $D_f$ – область определения, а $R_f$ – область значений функции $f$.
Область определения отношения $P$ – это множество $D(P) = \{ x  \mid  \exists y: ~ (x,y) \in P \}$.
Область значений отношения $P$ – это множество $R(P) = \{  y  \mid \exists x: ~ (x,y) \in P \}$.
Если $D_f = X$ и $R_f  = Y$, то говорят, что функция $f$ определена на $X$ и принимает свои значения на $Y$, а $f$ называют отображением множества $X$ на $Y$.
Функция (отображение) $f$ называется сюръективной или просто сюръекцией, если ля любого элемента $y \in Y$ существует элемент $x \in X$, такой, что $y = f(x)$.
Таким образом, каждая функция $f$ является сюръективным отображением (сюръекцией) $D_f  \to R_f$.

Такие вот дела, поди пойми что имел в виду автор.

 Профиль  
                  
 
 Re: вопрос про сюръективность функции (ДМ)
Сообщение20.04.2014, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11242
Казань
А что? По-моему противоречий нет. Плохо, что в этом отрывке не указано, между какими множествами задано соответствие. Видимо, между $X$ и $Y$. (Единственно, мне не нравится название "отношение", я привыкла называть отношением соответствие между $X$ и $X$).
Надо только отличать $X$ от области определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: вопрос про сюръективность функции (ДМ)
Сообщение20.04.2014, 02:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21040
Уфа
Как-то не совсем внятно определено там — кто такие $D_f$ и $R_f$, например, и как связаны c $D$ и $R$ от отношения — графика $f$?

Когда рассматриваются функциональные отношения, у которых $\{x : \exists y\mathbin.(x,y)\in f\}$ не обязательно равно области определения, а может быть и её подмножеством, их зовут частичными функциями, а обычные функциями просто функциями или тотальными функциями. И, если частичные функции рассматриваются, область определения может обозначать $\{x : \exists y\mathbin.(x,y)\in f\}$, а $\dom f$ может называться областью отправления или как-то там ещё.

Если понимать корень из начального поста как частичную функцию из $\mathbb R\to\mathbb R$, то она будет инъективной и не сюръективной, и потому и не биективной тоже. А если как функцию из $\mathbb R\to\mathbb R_{\geqslant0}$, она будет сюръективна и всё равно не биективна, т. к. не тотальна и не хватает прообразов.

Рассмотрение частичных функций вносит симметрию между областями отправления/значений и областью определения с образом, но эта симметрия не настолько важна, чтобы её добиваться. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: вопрос про сюръективность функции (ДМ)
Сообщение20.04.2014, 02:22 


11/04/08
607
Марс
provincialka в сообщении #852029 писал(а):
А что? По-моему противоречий нет.

как всё же вы бы ответили: сюръективна или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: вопрос про сюръективность функции (ДМ)
Сообщение20.04.2014, 02:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21040
Уфа
В том виде не сюръективна. Если там нет ошибок и частичные функции допускаются.

Кстати, spyphy, в той книге функция определяется как отношение с особым свойством (его могут называть функциональностью как я и сделал выше) или тройка из такого отношения и двух множеств? Если первое, функция всегда сюръекция и всегда тотальная, и никак приписать ей другие область отправления и значений нельзя (если только не засунуть график в кортеж с этими областями как во втором случае).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group