2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Жорданова форма большой матрицы
Сообщение15.04.2014, 22:03 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
$$\begin{pmatrix}
-7 & 7 &  1&  12& -12 &-1 \\ 
 1& 0&4  & -1 & -1 & -2\\ 
 -6&  -2&  -11&  6& 1 & 7\\ 
 -5&  5& -1&  9& -5 & 0\\ 
 1&  -1&  0&  -2&  5& 0\\
 -11&  0&  -12&  12&  -6& 9\\ 
\end{pmatrix}$$
Проблема, собственно, в размерах матрицы. Составляем характерестическое уравнение: $$\det\begin{pmatrix}
-7- \lambda & 7 &  1&  12& -12 &-1 \\ 
 1& 0- \lambda&4  & -1 & -1 & -2\\ 
 -6&  -2&  -11- \lambda&  6& 1 & 7\\ 
 -5&  5& -1&  9- \lambda& -5 & 0\\ 
 1&  -1&  0&  -2&  5- \lambda& 0\\
 -11&  0&  -12&  12&  -6& 9- \lambda\\ 
\end{pmatrix}$$
Видимо, матрицу нужно каким-то образом привести к ступенчатому виду, но мешается лямбда. Помогите, с чего начать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма большой матрицы
Сообщение15.04.2014, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Задачи такого размера (если в них нет какой-нибудь скрытой симметрии) обычно не делаются на руках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма большой матрицы
Сообщение16.04.2014, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Согласна с ИСН. Но если уж очень хочется - переставьте строки так, чтобы "лямбды" шли по побочной диагонали. Они и не будут мешать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма большой матрицы
Сообщение16.04.2014, 00:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
два вещественных с.з., две пары комплексно-сопряженных

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма большой матрицы
Сообщение16.04.2014, 00:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

это что, учебная задачка?... -- если так, то это откровенный идиотизм

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма большой матрицы
Сообщение16.04.2014, 18:20 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Печально. А если я "угодаю" эти собственные числа, то как найти их кратность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма большой матрицы
Сообщение16.04.2014, 18:58 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Если Вам известно собственное число $\lambda$, запишите матрицу $B=A-\lambda E$. Далее составьте табличку рангов степеней $B$, т.е.
$r_0=\operatorname{rang} B^0=\operatorname{rang} E_6=6$
$r_1=\operatorname{rang} B^1$
$r_2=\operatorname{rang} B^2$
$r_3=\operatorname{rang} B^3$
...
Этот процесс надо прервать, как только очередной ранг получится такой же, как предыдущий: $r_{i+1}=r_i=c$
Тогда $n-c$ будет алгебраической кратностью $\lambda$.
Табличку не выбрасывайте: пригодится при составлении жордановой формы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма большой матрицы
Сообщение16.04.2014, 19:30 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
svv
$n$, это количество строк(столбцов)?

-- 16.04.2014, 20:43 --

Возникнет проблема с нахождением ранга, мда...

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма большой матрицы
Сообщение16.04.2014, 19:46 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Только с помощью компьютера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма большой матрицы
Сообщение16.04.2014, 21:14 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Печально, но все равно, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма большой матрицы
Сообщение17.04.2014, 00:31 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Я бы рекомендовал все шаги проделывать в WolframAlpha и записывать результаты в тетрадку. Шагов будет достаточно много для того, чтобы процесс выглядел как выполненный вручную.

Вообще, пора писать статью под названием:
«Как с помощью Wolfram|Alpha имитировать честное выполнение заданий по линейной алгебре»

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма большой матрицы
Сообщение17.04.2014, 00:45 
Заслуженный участник


14/03/10
867
некоторые домашние задания полезнее не делать, чем делать
а иные могут оказаться откровенно вредны

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма большой матрицы
Сообщение17.04.2014, 08:09 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Не вижу вреда от этого задания, если в решении изначально предполагалось использование какой-нибудь системы компьютерной алгебры для рутинных действий типа отыскания ранга матрицы, умножения матриц и т.п. Разумеется, целью такого задания не является получения ответа, речь идёт о том, чтобы понять, как работает сам алгоритм. Ничем не хуже стандартных задачек (из Проскурякова, например) на эту тему, где предполагается ручной счёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Жорданова форма большой матрицы
Сообщение17.04.2014, 12:29 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
В Вольфраме это так.

Ниже вместо символа A надо будет вставлять такой код:
{{-7,7,1,12,-12,-1},{1,0,4,-1,-1,-2},{-6,-2,-11,6,1,7},{-5,5,-1,9,-5,0},{1,-1,0,-2,5,0},{-11,0,-12,12,-6,9}}

С помощью команды
eigenvalues A
ещё раз убеждаемся, что собственные значения $-2,3,4$.

Далее работаем с собственным значением $\lambda=-2$. Находим $B=A-\lambda E$:
A-(-2)*IdentityMatrix[6]
Нажимаем на значок в виде буквы $\textsf A$ с подсказкой Copyable Plaintext, копируем результат (текстовую строку) из WolframAlpha в текстовый редактор для будущего использования:
{{-5, 7, 1, 12, -12, -1}, {1, 2, 4, -1, -1, -2}, {-6, -2, -9, 6, 1, 7}, {-5, 5, -1, 11, -5, 0}, {1, -1, 0, -2, 7, 0}, {-11, 0, -12, 12, -6, 11}}
Ниже эта строка кратко обозначается B.

Найти ранг $B$ можно так:
rank B
WolframAlpha выдает результат: 5.

Аналогично одной командой
rank B^2
находится $B^2$ и $\operatorname{rank} B^2=4$. И так далее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group