2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 equation
Сообщение14.04.2014, 09:12 


30/11/10
227
If $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ and $f(f(x)) = 3x$. Then $f(2014) = $

 Профиль  
                  
 
 Re: equation
Сообщение14.04.2014, 10:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Рискну предположить, что $f(2014)=2015$
$f(2013)=6030$
$f(2012)=2515$

Впрочем, подойдёт и $f(2014)=6045$ и $f(2014)=1$

Тю, да тут очень много чисел может быть. Но не все.
Правда, у меня получается не биекция.

 Профиль  
                  
 
 Re: equation
Сообщение14.04.2014, 14:24 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Если не говорится, что f должна быть биекцией (взаимно обратным отображением), то решений бесконечно много.
Биекцией является только такая функция.
Представим $n$ в троичной системе исчисления
$n=\sum_j a_{i_j}3^{k_j}, a_{i,j}\not =0$ и определим значение
$$f(n)=\sum_j (a_{i_j}-(-1)^{a_{i_j}})3^{k_j+\theta_j}, \theta_j=2-a_{i_j}.$$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.04.2014, 14:51 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: equation
Сообщение14.04.2014, 15:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Я чего-то не уразумею :oops:
Если существует биекция, то у каждого числа есть один прообраз. Какой прообраз может быть у прообраза числа $1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: equation
Сообщение14.04.2014, 16:55 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
gris в сообщении #849680 писал(а):
Я чего-то не уразумею :oops:
Если существует биекция, то у каждого числа есть один прообраз. Какой прообраз может быть у прообраза числа $1$?

Согласно формуле 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: equation
Сообщение14.04.2014, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Я имею в виду, что если $\exists n: f(n)=1;\, \exists m: f(m)=n \Rightarrow f(f(m))=3m=1$, что не имеет решения в натуральных числах. Или я что-то не то говорю?

 Профиль  
                  
 
 Re: equation
Сообщение14.04.2014, 17:53 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Вы правы, если число не делится на 3, то у него не может быть двойного прообраза.
Я строил так, чтобы у 1 был прообраз 2. Соответственно у числа 2 нет прообраза. Т.е., то, что я строил не является биекцией.
Но без дополнительного условия решение не единственно. Возможно надо требовать условие монотонности.

 Профиль  
                  
 
 Re: equation
Сообщение14.04.2014, 18:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Я взял всевозможные геометрические прогрессии со знаменателем $3$ и первыми членами, не кратными $3$. Они не пересекаются и содержат в объединении все натуральные числа. А потом произвольно попарно объединял их, чередуя члены.

$(1\to 3 \to 9 \to 27 \to ...) + (2\to 6 \to 18 \to 54 \to ...) =(1\to 2 \to 3 \to 6 \to 9 \to 18 \to...)$

$(5\to 15 \to 45 \to 135 \to ...) + (4\to 12 \to 36 \to 108 \to ...) =(5\to 4 \to 15 \to 12 \to 45 \to 36 \to...)$

При попарном объединении всех прогрессий получается функция, удовлетворяющая условиям. Мне кажется, что у Вас нечто подобное?
Конечно, в каждом конкретном случае все числа не кратные трём не имеют "второго прообраза", а "половина" :-) из них и первого.

 Профиль  
                  
 
 Re: equation
Сообщение14.04.2014, 18:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
gris в сообщении #849758 писал(а):
Конечно, в каждом конкретном случае все числа не кратные трём не имеют "второго прообраза", а "половина" :-) из них и первого.

Делящееся на 3 число $3m$ всегда имеет два прообраза.
Монотонность делает решение единственной. Достаточно слегка модернизировать
$$f:n=\sum_j a_{i_j}3^{k_j}\to \sum_j b_{i_j} 3^{k_{i_j}+a_{i_j}-1}, b_{i_j}=a_{i_j}*2^{(-1)^{a_{i_j}+1}}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: equation
Сообщение14.04.2014, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Смотрю на Вашу формулу и цепенею от восторга, но приложить её к размышлениям не в силах.
Да, требование монотонности и прогрессии цепко держат функцию.
$1285\to2014\to3855$ :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: equation
Сообщение15.04.2014, 08:46 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Я хотел записать краткой формулой.
Очевидно, что отображение инъективно и $f(x)\not =x$.
Допустим, что f монотонно. Тогда при всех х $f(x)>x$ (иначе нарушается монотонность) и $f(1)=a,f(a)=3\to a=2.$
Таким образом однозначно определили $f(1)=2,f(2)=3\to f(3)=f(f(2))=6$.
Следовательно $f(6)=f(f(3))=9$ и $6=f(3)<f(4)<f(5)<f(6)=9\to f(4)=7,f(5)=8$.
Далее $f(7)=f(f(4))=12,f(8)=f(f(5))=15,f(9)=f(f(6))=18$.
Пусть монотонная функция определена при всех $n\le 3^k$.
Тогда по индукции $f(3^k)=f(f(2*3^{k-1}))=2*3^k,f(2*3^k)=3^{k+1}$.
По индукции $f(3^k+x), 0<x<3^k$ определится однозначно из соображений монотонности
как $f(3^k+x)=2*3^k+f(x)<3^{k+1}.$
Так как количество таких х равно количеству возможных значений у между $2*3^k$ и $3^{k+1}$, отображение в этом интервале биективно
и для нахождения $f(y), 2*3^k<y<3^{k+1}$ достаточно найти прообраз и выразить $f(y)=f(f(f^{(-1)}(y)))=3f^{(-1)}(y)=3x,f(x)=y$.
Таким образом монотонность однозначно определяет значение функции. Вычисление значения определяется представлением числа в троичной системе исчисления.

 Профиль  
                  
 
 Re: equation
Сообщение15.04.2014, 09:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
А я просто начал строить функцию в надежде, что подальше от начала наступит достаточное разряжение в области значений, и можно будет в определённых границах произвольно задавать некоторые значения. Но дойдя до $f(81)$ увидел, что не тут-то было. Функция выстраивается так, что никакого произвола не позволяет.
<Интересно, а условие $f(f(n))=4n$ допускает неоднозначность монотонной функции?>
Далее, рассуждая по-школьному, можно выделить два типа линейных участков и определить, на каком из них лежит искомое значение.

Спасибо за пояснения!

 Профиль  
                  
 
 Re: equation
Сообщение15.04.2014, 12:12 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Для этого случая нет однозначности. Однозначно определяются только значения $f(2^k)=2^{k+1}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group