Длина дуги по Гюйгенсу

[Алексей К.]

А $L=\varepsilon\ll r$?

Keter в сообщении #851059 писал(а):

Просто получается, что в случае $L=0$ и формула не нужна.

Конечно, не нужна. Но я уже объяснял, что кое-кому на самом деле нужна.

[Keter]

Алексей К. в сообщении #851058 писал(а):

Признаться, не понял, что Вы хотите изменить.

Имел в виду, как более природно охарактеризовать "плохой" результат формулы в этих особых случаях.

Алексей К. в сообщении #851058 писал(а):

Также (в очередной раз) намекаю, что людям пора спать.

Последнее время плохо получается. Не хватает времени. Математический анализ и линейную алгебру успеваю делать, да и интересно. Но из-за всех дополнительных кружков (по алгебре, по топологии) не могу дойти до аналитической геометрии.
Не подскажите хороший учебник или лекции по геометрии за первый курс (по теме Кривые второго порядка). Лекций ни у кого нормальных нет, сам их не посещал, а надо бы вникнуть.

-- 17 апр 2014, 22:31 --

Алексей К. в сообщении #851063 писал(а):

А $L=\varepsilon\ll r$?

Тогда вроде всё нормально. Либо $l<r,$ либо $r<l<2r.$

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Keter в сообщении #851067 писал(а):

Не подскажите хороший учебник

Keter,
вот что мне реально интересно --- неужели, например, Вы, как и многие другие, не чувствуете хотя бы фонетической разницы между

(1) "ПодскажИИИте мне, пожалуйста!" и
(2) "Ну Вы мне подскажЕте, или нет?"

Ну да, в первом случае И ударное, это способствует.
Но во втором Вы тоже И произносите, когда голосом это говорите?

Формально: Ваше "не подскажИте" явно включает повелительное наклонение с отрицанием, что (формально) следует трактовать как неуклюжее требование НЕ подсказывать хороший учебник, даже если читатель сообщения мог бы подсказать.

[Keter]

Алексей К. в сообщении #851050 писал(а):

равно как и об особом случае $l=32L$.

$\xi \approx 3,11034138 < \pi.$ Всё это говорит нам о том, что при больших углах эта формула совсем неточная, даже слишком.

[Алексей К.]

А по-моему, прекрасный результат, в смысле, --- очень хорошая формула:
ежели для таких больших, реально "непрактичных", углов мы получили оценку $\pi\approx3.11$, то...

Пока не могу вспомнить, в чём я в тех опытах увидел особость случая l=32L. Что там равнялось нулю?..
Впрочем, никто и не спрашивает.

[Keter]

(Оффтоп)

Алексей К., на автомате написал. Думал написать "подскажите пожалуйста ...", а написал "не подскажите ...". Да, слух режет... и глаз тоже. Последнее время часто какие-то глупые ошибки допускаю. Типа едЕница. Может из-за невнимательности и недосыпания... Усталость очень странно сказывается на работе вообще и, как видно, приводит к глупым ошибкам, из-за которых глупо выглядишь в глазах тех, перед котороми хотелось бы выглядеть в лучшем свете(
Подскажите пожалуйста, если знаете, хорошие лекции или книги по геометрии (по теме Кривые второго порядка).
На самом деле лектор очень плохо объясняет. Лекции совсем непонятные (в плане математических формул, а точнее их ненужности в некоторых местах), а экзамен принимает декан мехмата.

-- 17 апр 2014, 22:58 --

Алексей К. в сообщении #851086 писал(а):

А по-моему, прекрасный результат, в смысле, --- очень хорошая формула:
ежели для таких больших, реально "непрактичных", углов мы получили оценку $\pi\approx3.11$, то...

Так по формуле у нас получается $p \approx 85L,$ что очень грубо. Мы не получали оценки $\pi\approx3.11$ из формулы, это из системы $32L=2r\sin \xi/2, L=2r\sin \xi \Rightarrow \xi=2\arccos 1/64 \approx 3.11.$

-- 17 апр 2014, 23:04 --

Алексей К. в сообщении #851086 писал(а):

Пока не могу вспомнить, в чём я в тех опытах увидел особость случая l=32L. Что там равнялось нулю?..

Хотел спросить, потом подумал, что особость в том, что тогда $p \approx 43L,$ а это многовато. Хотя такая особенность начинает проявляться уже для $\xi>\dfrac{\pi}{3}.$

[Алексей К.]

Keter в сообщении #851067 писал(а):

Либо $l<r,$ либо $r<l<2r.$

Это заявление (только что замеченное, а поспать дадут, наконец?) --- уверен --- безосновательное. Случай $r=l$ в этой задаче не может быть чем-то особым. Там всё как бы непрерывно. Невозможно, что при $r=0.999\,l$ и $r=1.001\,l$ "всё хорошо", а при $r=1.000\,l$ чего-то не так. Там всё непрерывно (даже если и, начхать, не монотонно).

[Keter]

Самое интересное, что начиная с некоторого немаленького угла $\xi,$ если в формулу добавить еще один член разложения $H_{1,1}$, то $p \approx 2l+\dfrac{2l-L}{3}+H_{1,1},$ погрешность увеличится --- $p \approx 85.195 L.$
А вот если $H_{1,2}$: $p\approx 2l+\dfrac{2l-L}{3}+H_{1,2} \approx 84.9875 L.$
То есть $H_{1,1}$ ухудшает формулу, а не улучшает её при больших углах.

-- 17 апр 2014, 23:32 --

Алексей К., а как найти критический угол, при котором погрешность уже очень высокая, скажем >15% ?
Получается для формулы особый случай $L=0, l\ne 0,$ потому что тогда $p \approx (8/3)l,$ откуда $\pi \approx 2.67.$ А все приближения убиваются, так как в числителе имеют $L.$ И плохие случаи при достаточно больших $\xi,$ тогда с формулой вообще творятся ужасы и приближать её, чтобы получить маленькую погрешность, прийдётся порядка 50 членами.

-- 17 апр 2014, 23:39 --

Алексей К. в сообщении #851095 писал(а):

Keter в сообщении #851067 писал(а):

Либо $l<r,$ либо $r<l<2r.$

Это заявление (только что замеченное, а поспать дадут, наконец?) --- уверен --- безосновательное. Случай $r=l$ в этой задаче не может быть чем-то особым. Там всё как бы непрерывно. Невозможно, что при $r=0.999\,l$ и $r=1.001\,l$ "всё хорошо", а при $r=1.000\,l$ чего-то не так. Там всё непрерывно (даже если и, начхать, не монотонно).

Так я и не говорю, что при $l=r$ что-то особенное. Это возможно при $\xi=\pi/3$ и формула даёт нормальную точность. Я имел в виду, что при $L=\varepsilon \ll r$ у нас может быть два случая: либо $l<r,$ либо $r<l<2r.$ Конечно, это грубо и на самом деле в таком случае либо $l<\varepsilon,$ либо $2r-\varepsilon<l<2r.$

-- 17 апр 2014, 23:44 --

(Оффтоп)

Прошу прощения, если не даю отдыхать. Самому пора бы отдохнуть, но нужно еще многое сделать.

-- 18 апр 2014, 00:20 --

Алексей К., ааа, кажется я понял. Эта формула действует при $0 \le \xi \le \pi/2,$ потому что при $\xi > \pi/2$ у нас $l$ совсем по-другому считается, а именно $l=\dfrac{2r}{\sin \frac{\xi}{2}}.$

[Keter]

Получается, что в случае $\pi/2<\xi \le \pi$ и формула другая будет.

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Keter в сообщении #851088 писал(а):

приводит к глупым ошибкам, из-за которых глупо выглядишь

Да ладно, не преувеличивайте, глупого выглядения от этого не происходит. Я Вам подсказал, выяснилось, что Вам это известно (+!), но так случилось, что...
Меня реально-статистически интересовал этот вопрос, и я счёл возможным его Вам задать. И включил в статистику с соотв. весом.

Алексей К. в сообщении #851019 писал(а):

(Я присоединюсь в выходные, если не вопрос не закроется).

Рассматриваю это как обещание в силе, и буду сук буду считать себя не очень хорошим человеком, если не...

На сегодняшний засып придумал себе тему: "Почему профессионалы форума не встревают во вроде бы простые вопросы, где они явно получше меня разбираются?" Или, честнее, в такой форме: "Почему, как только вдруг случается тема, где я что-то понимаю и начинаю активничать, все остальные убегают?" Этот вариант темы-для-засыпа имеет достаточные статистические обоснования. Это я уже не в первый раз наблюдаю...

[_Ivana]

Алексей К. в сообщении #851488 писал(а):

"Почему, как только вдруг случается тема, где я что-то понимаю и начинаю активничать, все остальные убегают?"

Подозреваю, что профессионалы просто тактично не мешают диалогу в режиме спрашивающий-консультирующий. Когда за тему "взялся" один консультант достаточной квалификации, остальные просто не мешают процессу. Могу привести немало примеров подобных тем.

ЗЫ я вот совсем не профессионал, даже пытался написать в эту тему (потом не отправил пост) несколько вопросов, например, почему бы не рассчитать радиус сразу и не вычислять длину дуги любым способом потом, включая рекуррентно получаемые последовательные приближения уменьшающимися хордами?

[Алексей К.]

Итак,

$$\frac{l}{p}= \frac12-\frac1{48}\xi^2+\frac1{3840}\xi^4+e_1,\quad\frac{L}{p}=1-\frac1{6}\xi^2+\frac1{120}\xi^4+e_2$$

($|e_1|\simeq\frac{\xi^6}{5040}$, $|e_2|\simeq\frac{\xi^6}{645120}$). Исключение $\xi$ даёт (результат записан с подстановкой $e_{1,2}=0$):

$$105p^2-10p(L+64l)+(L-32l)^2=0.$$

Корни:

$$p^{\pm}=\frac{64}{21}l+\frac1{21}L\pm\frac4{105}\sqrt{620Ll-5L^2-320l^2}=\frac{22}{7}l-\frac1{21}d\pm\frac4{105}\sqrt{900l^2-600ld-5d^2}$$

(второй вариант предполагает $d=2l-L$).
Когда я Вас типа поучал, я не стал особо задумываться, откуда здесь мог взяться "лишний корень", и тупо выбирал численно более похожий на правду. Сейчас пришлось подумать и об этом, и я понял, откуда, и Вы, похоже, поняли:

Keter в сообщении #851117 писал(а):

Получается, что в случае $\pi/2<\xi \le \pi$ и формула другая будет.

Только в моих приближениях критическое значение было $\xi=\sqrt{10}$ (если не наошибался), сильно напоминающее $\pi$.
Я пока отправляю написанное, полагая, что имею право покормить себя куриной лапшой. Потом, наверное, ещё попишу. Может, ещё пол помою... Теперь надо чётко выбрать корни...


Забавная получается задачка, необычная, на мой взгяд.

[Keter]

Алексей К., прошу прощения за столь долгое молчание. Сильно напряженные дни были перед праздниками. Но теперь можно вернуться к делу.

Всё-таки дальше разлагать и оценивать погрешность относительно угла легче, чем относительно $d=\frac{2l-L}{3}.$ Хотя очень хотелось бы далее в разложении получить что-то вроде $d_2=\operatorname{const} \cdot (2l-L)^2.$

Вот что мне еще показалось интересным: давайте попробуем доказать(обосновать) формулу Гюйгенса без использования разложения функции в ряд. Неравенствами или более хитрыми штуками. И также оценить погрешность относительно угла, использую лишь неравенства и, возможно, что-то еще. Возможно, рассмотреть предел $\lim_{\xi \to 0} \dfrac{p}{p_{h}},$ в числителе реальная формула, а в знаменателе приближенная.
Нужно не забыть, что $0\le \xi \le \pi/2.$

Пробовал по-разному, но пока ничего не получил. Вообще никаких результатов, приводящих к нужной формуле.

Что думаете по этому поводу?

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Keter в сообщении #857894 писал(а):

Что думаете по этому поводу?

Я как раз, ровно сейчас, сидел на балконе, пил кофий, и думал про это недоделанное дело. Прошу прощения за столь долгое молчание. Сильно напряженные дни были перед праздниками, как никогда (и всё равно --- к сроку не справился ). Но теперь можно вернуться к делу.

[Алексей К.]

Я пока тисну уже накопившееся:

Красная кривая --- вычисление по Гюйгенсу, зелёная --- $p^{-}$. Так себе импрувмент...

-- 02 май 2014, 14:55:00 --
p_new добавлено отсюда.

-- 02 май 2014, 11:41:26 --

Keter в сообщении #857894 писал(а):

доказать(обосновать) формулу Гюйгенса без использования разложения функции в ряд.

Здесь бы я начал с того, что неравенство $x-\dfrac{x^3}{120}<\sin x<x\quad(x>0)$ вроде бы известно до рядов.

-- 02 май 2014, 12:21:46 --

Но это я имел в виду для попыток оценить погрешностей. Для вывода/обоснования достаточно исключить $\xi^2$ из уравнений $\dfrac{l}{p}\approx \dfrac12-\dfrac1{48}\xi^2,\quad\dfrac{L}{p}\approx 1-\dfrac1{6}\xi^2.$ Вас здесь что-то не устраивает? Именно наличие следов от рядов?