2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Мажорируется ли функция ограниченная на каждом компакте?
Сообщение08.04.2014, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Как-то раз мне преподаватель задал задачу, которую по его словам сам он не решил:
Пусть у нас есть функция из иррациональных чисел в вещественные $f : \mathbb{I} \to \mathbb{R}$. Пусть эта функция ограничена на каждом компакте. Верно ли, что для любой такой $f$ существует непрерывная функция $g$ такая, что $|f(x)| < |g(x)|$?
Мой ответ: нет. Сама функция строится так: иррациональное число $i$ записывается в виде непрерывной дроби (т.е. кодируется последовательностью натуральных чисел), а далее все элементы, стоящие на чётных и нечётных местах меняются местами. В терминах непрерывных дробей любой компакт содержится в компакте, который выглядит так:
Рассматривается последовательность нат. чисел $c_i$ (каждая такая последовательность пораждает свой компакт), а компактом является множество всех последовательностей $a_i$ таких, что $a_i < c_i$. В таком виде очевидно, что моя функция ограниченна на каждом компакте, но так же очевидно, что она неограниченна в окрестности единицы. Ведь $(1,n,1,1,1,1,...)$ стремится к 1 при $n \to \infty$ однако $f( (1,n,1,...) ) = (n,1,1,1,...)$ стремится к бесконечности. Поэтому непрерывной мажорируемой функции уж точно существовать не может.
Верны ли мои рассуждения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мажорируется ли функция ограниченная на каждом компакте?
Сообщение09.04.2014, 09:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
kp9r4d в сообщении #847397 писал(а):
...Сама функция строится так: иррациональное число $i$ записывается в виде непрерывной дроби (т.е. кодируется последовательностью натуральных чисел)...
Это общие слова, способ кодирования не описан. Дальнейшие рассуждения теряют смысл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мажорируется ли функция ограниченная на каждом компакте?
Сообщение09.04.2014, 09:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Brukvalub в сообщении #847458 писал(а):
Это общие слова, способ кодирования не описан. Дальнейшие рассуждения теряют смысл.


Я думаю, имеется в виду разложение в цепную дробь.

-- Вт, 08 апр 2014 23:47:28 --

kp9r4d в сообщении #847397 писал(а):
Поэтому непрерывной мажорируемой функции уж точно существовать не может.


Непрерывная на $\mathbb I$ функция не обязана быть ограничена в окрестности единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мажорируется ли функция ограниченная на каждом компакте?
Сообщение09.04.2014, 10:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Да, действительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мажорируется ли функция ограниченная на каждом компакте?
Сообщение09.04.2014, 17:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Я придумал чуть посложнее структуру. Здесь и далее под словами «интервал, компакт, замкнутое множество» и т.д. я буду понимать соответствующие определения в топологии иррациональных чисел, индуцированной из $\mathbb{R}$. Доказательство некоторых утверждений я буду опускать в виду их очевидности, если что-то вызовет подозрения — я докажу.

1) Для любого интервала существует несчётная попарно непересекающаяся система компактов, целиком лежащая в интервале.
2) Несчётных компактов ровно континуум.
3) В предположении континуум гипотезы, по принципу полной упорядоченности все несчётные компакты можно пронумеровать ординалами, меньшими, чем $\omega_c$ (первый несчётный ординал). Т.е. $K = \{ K_\alpha : \alpha < \omega_C \}$ — множество всех несчётных компактов.
4) Определим индуктивно функцию $f$. Положим $f(x) = a_0$ если $x \in K_0$. Далее пусть функция определена для всех $K_\beta$ $\beta < \alpha$. Тогда положим $f(x) = a_\alpha$ если $x \in K_\alpha \setminus \bigcup_{\beta < \alpha} K_\beta$. Так как ординалу $\omega_c$ предшествует континуум ординалов, то существует биекция $B$ номеров $\alpha$ на положительный луч $(0,+\infty)$ такая, что множество $T_\alpha = \{B(\beta): \beta < \alpha \& \alpha < \omega_c\}$ — ограниченная подпоследовательность. Построим эту биекцию, теперь положив $a_\alpha = B(\alpha)$, получим $f$ — чётко заданную функция из $\mathbb{I}$ в $\mathbb{R}$.
5) По построению очевидно, что она ограничена на каждом компакте. Также очевидно, что она неограниченна на каждом интервале (ведь в каждом интервале существует система попарно непересекающихся компактов, целиком лежащая в интервале, и поэтому её образ (в силу несчётности) должен быть неограниченным). А значит она не может быть непрерывной.
Ну как-то так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мажорируется ли функция ограниченная на каждом компакте?
Сообщение09.04.2014, 18:54 
Заслуженный участник


14/03/10
867
kp9r4d в сообщении #847545 писал(а):
множество $T_\alpha = \{B(\beta): \beta < \alpha \& \alpha < \omega_c\}$ — ограниченная подпоследовательность
в каком смысле, "множество -- подпоследовательность"?

kp9r4d в сообщении #847545 писал(а):
поэтому её образ (в силу несчётности) должен быть неограниченным
ее образ может состоять из одного элемента, если какой-нибудь компакт содержащий Ваш интервал оказался первым в Вашей нумерации

 Профиль  
                  
 
 Re: Мажорируется ли функция ограниченная на каждом компакте?
Сообщение09.04.2014, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
patzer2097 в сообщении #847570 писал(а):
в каком смысле, "множество -- подпоследовательность"?

Просто последовательность в том смысле, что каждому ординалу $\alpha < \omega_c$ предшествует счётное кол-во ординалов (а значит все предшествующие ординалы можно занумеровать натуральными числами, т.е., построить естественную последовательность по множеству). Да уж, тут немного я слукавил в том смысле, что мне сейчас неочевидно почему такая биекция должна существовать, но мне кажется, что всё-таки должна, я ещё подумаю над этим моментом.
patzer2097 в сообщении #847570 писал(а):
ее образ может состоять из одного элемента, если какой-нибудь компакт содержащий Ваш интервал оказался первым в Вашей нумерации

Нет, тут не в том дело. Берём любую окрестность $U$, скажем, точки $\sqrt{2}$. Довольно легко можно построить такую систему компактов $R_\alpha$ что
(i) Для любого $\alpha$ $R_\alpha$ — несчётно.
(ii) $\{R_\alpha\}$ несчётно
(iii) Для любого $\alpha$ $R_\alpha \subset U$.
(iv) Для любых $\alpha \neq \beta$ $R_\alpha \cap R_\beta = \varnothing$

(если нужно, я выпишу явно как такую систему строить)
Рассмотрим множество индексов компактов $R_\alpha$ (индексов в той нумерации, которая $K_\alpha$). Я утверждаю, что его супремум — это как раз $\omega_c$. Правда непонятно, как я отсюда сделал вывод, что $f(\{R_\alpha\})$ неограниченно.
Да уж, сырое док-во получилось, я ещё подумаю и потом оформлю покрасивее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мажорируется ли функция ограниченная на каждом компакте?
Сообщение09.04.2014, 19:19 
Заслуженный участник


14/03/10
867
kp9r4d в сообщении #847579 писал(а):
Да уж, сырое док-во получилось, я ещё подумаю и потом оформлю покрасивее.
да, Вы лучше не спешите отправлять тексты. Дело в том, что идея Ваша может и быть замечательной, но фрагменты типа
kp9r4d в сообщении #847579 писал(а):
(i) Для любого $\alpha$ $R_\alpha$ — несчётно.
(ii) $\{R_\alpha\}$ несчётно
иногда рискуют сделать Ваш текст абсолютно нечитаемым

 Профиль  
                  
 
 Re: Мажорируется ли функция ограниченная на каждом компакте?
Сообщение09.04.2014, 20:10 


22/11/11
128
Попробуйте понять является ли такая функция $f$ локально ограниченной. А дальше попробуйте построить нужную функцию $g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мажорируется ли функция ограниченная на каждом компакте?
Сообщение09.04.2014, 21:16 


22/11/11
128
Такое свойство имеет каждая функция $f$, определенная на метризуемом пространстве $X$. В случае $X\subseteq\mathbb R$ доказывается довольно просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мажорируется ли функция ограниченная на каждом компакте?
Сообщение10.04.2014, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
lyuk
Спасибо, конечно, но я не вижу особых путей для доказательства этого. А как построить функцию g, зная это, конечно же очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мажорируется ли функция ограниченная на каждом компакте?
Сообщение10.04.2014, 08:04 


22/11/11
128
Пусть $X\subseteq\mathbb R$ и $f:X\to\mathbb R$ ограниченая на каждом компакте. Доопределим $f$ на $\mathbb R\setminus X$, положив всюду $f(x)=0$. Обозначим через $F$ множество всех таких точок $x\in\mathbb R$, что $f$ неогрничена на кождой окрестности точки $x$.

1. Покажите, что $F$ замкнуто и $F\cap X=\emptyset$ (это следует из условия), т.е. $X\subseteq G=\mathbb R\setminus F$.

Множество $G$ состоит из непересекающихся интервалов $I$. Поэтому достаточно построить искомую функцию $g$ на каждом $I$.

2. Используя $G\cap I=\emptyset$ и лему Больцано-Веерштрасса докажите, что $f$ ограничена на каждом отрезке $[a,b]\subseteq I$.

3. Остается решить задачу в случае $X=I$ (или, что то же самое $X=\mathbb R$). Пусть $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ограниченая на каждом отрезеке. Постройте непрерывную функцию $g$ такую, что $|f(x)|\leq g(x)$ для всех$x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мажорируется ли функция ограниченная на каждом компакте?
Сообщение10.04.2014, 08:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
lyuk в сообщении #847826 писал(а):
$F$ замкнуто

Очевидно.
lyuk в сообщении #847826 писал(а):
$F\cap X=\emptyset$ (это следует из условия)

Я не понимаю каким образом. Можете расписать подробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мажорируется ли функция ограниченная на каждом компакте?
Сообщение10.04.2014, 12:42 


22/11/11
128
Попробуйте от противного. Пусть $x_0\in F\cap X$. Для каждого $n\in\mathbb N$ можна найти $x_n\in X\cap (x_0-\frac1n,x_0+\frac1n)$ такое, что $|f(x_n)|\geq n$. А там и противоречие рядом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мажорируется ли функция ограниченная на каждом компакте?
Сообщение10.04.2014, 13:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Да, очевидно. Непонятен теперь пункт 2. Каким образом использовать лемму БВ? И почему вы сначала пишете, что I включено в G, а потом, что I не пересекается с G?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group