2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 19:35 


09/06/12
137
Интеграл $\int_{0}^{\pi}\ln({1+2k \cos{\varphi}+k^2}) d\varphi $ равен нулю. Можно ли подобрать какую-либо достаточно простую замену, сводящую его к интегралу от нечётной функции в симметричных пределах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 19:40 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Почему вы решили, что он равен нулю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 19:44 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
integrate ln(1+2*0.3*cos(x)+0.3^2) dx from 0 to pi

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Нулю он равен из каких-то банальных электростатических соображений, а доказывается на пальцах, наверное, тоже просто. Ну-ка, что получится, если развернуть его задом наперёд и сложить сам с собой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 19:49 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
ИСН
У меня получилось, что нулю он равен только при $\[k \to  \pm 1\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Изображение Моё дело - сказать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 19:59 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
ИСН
Нет, я не спорю, я имею ввиду, вы уверены, что он равен нулю при любом $\[k\]$? Тогда пойду искать у себя ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 20:02 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Нет, при $|k|\le 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 20:05 


09/06/12
137
Конечно, имелось в виду, что $|k| \le 1$.
Доказательства равенства нулю известны, но недостаточно просты.
Вопрос в том, можно ли обойтись одной заменой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 21:30 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Из того, что я посмотрела, проще всего получилось методами ТФКП. Общий случай, кстати.
В некотором смысле это тоже замена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 21:39 


09/06/12
137
Конечно, так можно, но ТФКП выглядит тяжёлой артиллерией. Хотелось бы всё свести именно к интегралу от нечётной функции в симметричных пределах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 22:17 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Удвоив интеграл, можно всё это дело свести к рядам Фурье. Но там возни будет ещё больше, чем с ТФКП

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Вообще-то этот пример в Демидовиче находится в разделе интегралов, зависящих от параметра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 22:25 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
provincialka в сообщении #847362 писал(а):
Вообще-то этот пример в Демидовиче находится в разделе интегралов, зависящих от параметра.

Ну да, я так и делала. По параметру, а потом тфкпой.
Можно и без тфкпы, конечно, но с тфкпой гораздо проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 22:25 


09/06/12
137
Ms-dos4 в сообщении #847359 писал(а):
Удвоив интеграл, можно всё это дело свести к рядам Фурье. Но там возни будет ещё больше, чем с ТФКП

Конечно. Это один из известных способов. Такой вариант не устраивает.

-- 08.04.2014, 21:27 --

provincialka в сообщении #847362 писал(а):
Вообще-то этот пример в Демидовиче находится в разделе интегралов, зависящих от параметра.

... причём для произвольных значениях параметра. Интересует всего лишь доказательство равенства нулю при значениях, по модулю меньших единицы. Ради этого дифференцировать по параметру не хочется.
Кстати, случай $|k|>1$ сводится к случаю $|k|<1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group