2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 16:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nikvic в сообщении #847206 писал(а):
Обычно Симпсона оценивают через максимум 4-й производной.

Естественно. Но дальнейшая логика -- ровно такая же: степень грубости этой оценки определяется тем, насколько среднее значение соответствующей производной меньше максимального, и ничем иным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152

(Оффтоп)

ewert в сообщении #847211 писал(а):
Но дальнейшая логика -- ровно такая же: степень грубости этой оценки определяется тем, насколько среднее значение соответствующей производной меньше максимального, и ничем иным.

Ну, это отличие для второй производной у Симпсона несущественно. А третьей и четвёртой может и не быть - при монотонной второй.
Я не смотрел этого до конца. Похоже, точная оценка сверху получается для случая, когда вторая производная имеет вид ступеньки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 17:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nikvic в сообщении #847227 писал(а):
Похоже, точная оценка сверху получается для случая, когда вторая производная имеет вид ступеньки.

Точная оценка сверху (если речь о трапециях) получается тогда и только тогда, когда вторая производная постоянна. По весьма тривиальной причине: фактическая погрешность асимптотически пропорциональна интегралу от второй производной (умноженному на квадрат шага).

Для симпсона всё ровно так же, только производная и степень -- четвёртые. И вообще для любой квадратурной формулы всё ровно так же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152

(Оффтоп)

ewert в сообщении #847229 писал(а):
Точная оценка сверху (если речь о трапециях)

Под катом говорится о Симпсоне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 18:03 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nikvic в сообщении #847232 писал(а):
Под катом говорится о Симпсоне.

Какое отношение вторая производная имеет к погрешности Симпсона?... -- никакого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152

(Оффтоп)

ewert в сообщении #847233 писал(а):
Какое отношение вторая производная имеет к погрешности Симпсона?... -- никакого.

Видите ли, она может меняться :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 18:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nikvic в сообщении #847240 писал(а):
Видите ли, она может меняться :wink:

Пусть меняется. И что?...

Да, можно получить явную оценку погрешности формулы Симпсона через максимум второй производной (и она будет верна независимо от существования или нет следующих производных). Но эта оценка будет, соответственно, уже не четвёртого, а всего лишь второго порядка точности относительно шага. И ни о какой точности такой оценки, естественно, не может быть и речи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152

(Оффтоп)

ewert в сообщении #847243 писал(а):
можно получить явную оценку погрешности формулы Симпсона через максимум второй производной

Нету такой оценки: Симпсон точен аж для кубических многочленов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 20:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nikvic в сообщении #847246 писал(а):
Нету такой оценки: Симпсон точен аж для кубических многочленов.

Есть такая оценка. Есть такая

Теорема. Пусть квадратурная формула точна для всех многочленов степени $m$, и пусть подынтегральная функция непрерывно дифференцируема $(m+1)$ раз. Тогда существует постоянная $C$, зависящая только от формулы (но не зависящая ни от функции, ни от шага) такая, что абсолютная величина погрешности не превосходит $C\cdot\max\limits_x|f^{(m+1)}(x)|\cdot h^{m+1}$.

(Естественно, имеется в виду составная квадратурная формула; и, естественно, непрерывность производной не обязательна, просто при её разрывности формулировка несколько загромождается.)

Так вот: если функция дифференцируема менее четырёх раз -- для формулы Симпсона срабатывает именно эта теорема. И это довольно полезно иметь в виду с чисто практической точки зрения, чтоб потом в случае чего не удивляться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
ewert в сообщении #847305 писал(а):
Есть такая оценка.

Вы пропустили максимум модуля.
ewert в сообщении #847305 писал(а):
если функция дифференцируема менее четырёх раз -- для формулы Симпсона срабатывает именно эта теорема.
Факт.
Но я-то "отклонился" от трапеций, предлагая использовать монотонность 2-й производной.
Чего нет у Фихтенгольца :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 21:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nikvic в сообщении #847312 писал(а):
Вы пропустили максимум модуля.

Это Вы недовчитались.

nikvic в сообщении #847312 писал(а):
Но я-то "отклонился" от трапеций, предлагая использовать монотонность 2-й производной.

Ну и как её конкретно использовать?... Я чего-то пока что так и не представляю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Поскольку всё "масштабируется", достаточно для начала взять функции в пределах отрезка длиной 2 со второй производной, неубывающей от нуля к единице.
Ну и посчитать :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 22:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

nikvic в сообщении #847340 писал(а):
неубывающей от нуля к единице.
Ну и посчитать :wink:

Ну и чего?...

Нет, я охотно допускаю, что там выйдет некая абсолютная оценка (я, правда, так до сих пор не понимаю, какая в точности имеется в виду). Но. А какой прок с той оценки -- для сельского хозяйства-то?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение09.04.2014, 00:35 


29/08/11
1759
Привожу свое решение в MathCad (под спойлером):

(Для модераторов)

Привожу скриншот с маткада, а не записываю в техе, специально, дабы показать, что вычисления точно верные.

(Решение в MathCad)

Изображение


В четвертом знаке цифры отличаются :facepalm:

То ли я что-то не так считаю, то ли маткад что-то не так считает, то ли я "сломал" формулу трапеций :o

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение09.04.2014, 00:40 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Так. "Точное" значение интеграла $0,607889$ (тут все цифры верные), ваш метод трапеций с учётом точности даёт $0.607906 \pm 0,00005$, т.е. $ \in [0.607856,0.607956]$. Но ведь $0,607889 \in [0.607856,0.607956]$. Так что вам надо? Всё правильно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group