Численное интегрирование

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые участники форума.

Столкнулся я с двумя задачами по ЧМ:

1) Вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников. Оценить точность вычислений ($n=8$).

2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при $n=8$, оценить погрешность результатов.

Подскажите, пожалуйста, верно ли я понимаю, что во втором примере, для оценки погрешности результатов надо использовать формулу:

$$R_{n} \leq \frac{(b-a)^5}{2880} \cdot \operatorname{max} |f^{(4)}(x)|$$

(максимум на отрезке $[a;b]$).

И еще вопрос: а как оценить точность вычислений в первом примере? Если бы нужно было бы оценить погрешность результатов, то я бы воспользовался формулой, аналогичной той, что написана выше, а вот как оценить точность вычислений - не знаю.

Заранее спасибо!

PS. Буду рад даже названиям учебников, где эта информация может быть, хоть и просмотрел их не мало.

[Ms-dos4]

1)Точность вычислений - просто сравните с точным значением (найдите погрешность).
2)Да, эту (порядок производной точно такой, константу я не помню). Но если говорить реально - то эта оценка ОЧЕНЬ грубая да и производные оценивать, так что никто её в ЧМ не использует.
P.S.(Хотя термины странные какие-то, по мне что точность, что погрешность. Но видимо имелось ввиду в 1-ом случае сравнить с истинным значением, а во втором теоретически оценить).

[ewert]

Limit79 в сообщении #846503 писал(а):

а как оценить точность вычислений в первом примере? Если бы нужно было бы оценить погрешность результатов, то

Это одно и то же.

Для формул всевозможных прямоугольников или там трапеций существуют оценки погрешности через максимумы соответствующих производных, вполне аналогичные той, что для Симпсона (тем более существуют, т.к. они проще). Только на практике все эти оценки (в т.ч. и для Симпсона) ровно никому не нужны, и с очень хорошей точностью не нужны.

[Limit79]

Ms-dos4
Спасибо за ответ!

Ms-dos4 в сообщении #846504 писал(а):

1)Точность вычислений - просто сравните с точным значением (найдите погрешность).

Wolfram Alpha не берет этот интеграл даже через спец. функции.

Ms-dos4 в сообщении #846504 писал(а):

2)Да, эту (степень производной точно такая, константу я не помню). Но если говорить реально - то эта оценка ОЧЕНЬ грубая, и никто её в ЧМ не использует.

Но это же просто учебная задача на знание формул. А какая есть еще формула для оценки погрешности?

[Ms-dos4]

Limit79
Просто можно вычислять интеграл с наперёд заданной точностью, когда вы сгущаете сетку там, где нужно. Кстати, что за интеграл?

[Limit79]

ewert в сообщении #846505 писал(а):

Это одно и то же.

Для формул всевозможных прямоугольников или там трапеций существуют оценки погрешности через максимумы соответствующих производных, вполне аналогичные той, что для Симпсона (тем более существуют, т.к. они проще). Только на практике все эти оценки (в т.ч. и для Симпсона) ровно никому не нужны, и с очень хорошей точностью не нужны.

Просто эти два примера идут один после другого, а формулировка разная. Я подумал, может оценка точности вычислений связана с точностью вычислений значений самой подынтегральной функцией...

-- 07.04.2014, 00:56 --

Ms-dos4 в сообщении #846508 писал(а):

Просто можно вычислять интеграл с наперёд заданной точностью, когда вы сгущаете сетку там, где нужно.

Но это же будет опять оценка погрешности вычисления интеграла, а не оценка вычислений (а может быть, это действительно одно и то же?...).

Ms-dos4 в сообщении #846508 писал(а):

Кстати, что за интеграл?

$$\int \frac{\sin(0.7x+0.4)}{2.2+\cos(0.3x^2+0.7)} dx$$

[ewert]

Limit79 в сообщении #846509 писал(а):

Я подумал, может оценка точности вычислений связана с точностью вычислений значений самой подынтегральной функцией...

Нет, конечно. Это буквально одно и то же (на что какбе намекает слово "оценить").

[Ms-dos4]

Limit79
Если вы хотите оценить погрешность до вычислений - да, действуйте по тем формулам. Но как уже сказали, такая оценка никому не сдалась. Обычно вооружаются правилом Рунге, задают нужную точность и вперёд.

[Limit79]

ewert в сообщении #846512 писал(а):

Нет, конечно. Это буквально одно и то же (на что какбе намекает слово "оценить").

Меня ввела в заблуждение формулировка:
Если бы было:
1) Оценить точность вычисления == оценить погрешность результата.
2) Оценить точность вычислений (т.е. их, вычислений, много) -- не знаю. (но Вы меня убедили )

-- 07.04.2014, 01:05 --

Ms-dos4 в сообщении #846513 писал(а):

Если вы хотите оценить погрешность до вычислений - да, действуйте по тем формулам. Но как уже сказали, такая оценка никому не сдалась. Обычно вооружаются правилом Рунге, задают нужную точность и вперёд.

Но ведь у меня уже задано кол-во отрезков, на которые необходимо разделить отрезок интегрирования, и не задана точность. Т.е. надо просто вычислить результат с заданным $n=8$ и оценить погрешность этого вычисленного результата, поэтому я склоняюсь к использованию тех формул, где оценка через максимум производных (ту, что я выше писал).

[ewert]

Limit79 в сообщении #846514 писал(а):

поэтому я склоняюсь к использованию тех формул, где оценка через максимум производных

Ну правильно склоняетесь (задание, конечно, сугубо абстрактно, но -- супротив начальства не попрёшь). Формулки для погрешностей прочих формул вам должны были быть дадены (раз уж выдали задание). Если что, то погрешность на одном шаге для центральных прямоугольников есть $\frac{f''(\xi)}{24}h^3$, а для трапеций -- $\frac{f''(\xi)}{12}h^3$. Ну и просуммируйте её по всем шагам.

Я, правда, не помню, в которой из этих формулок плюс, а в какой минус. Из прынцыпу не помню; не могу себе представить, как вы будете выводить все эти безумные производные и уж тем более находить их максимумы. Ну, у каждого начальства -- свои бздыки.

[Limit79]

ewert
Да, формулы известны.

Максимум да, сложно, производные безумные. Но через мат. пакет таки вычислил. С такой постановкой задачи не вижу других способов ее решения, к сожалению

-- 07.04.2014, 02:00 --

Господа, а такая формулировка задачи:

Цитата:

Вычислить интеграл по формуле трапеций с четырьмя десятичными знаками. Оценить точность вычислений ($n=8$)

вообще некорректна?

Ведь для четырех десятичных знаков, необходимо чтобы абсолютная величина погрешности была меньше $0.00005$, и уже отсюда следует, что результат будет вычислен с точностью $0.00005$ ?

[ewert]

Limit79 в сообщении #846525 писал(а):

С такой постановкой задачи не вижу других способов ее решения, к сожалению

Есть очень тупой способ оценивания максимума производной любого нужного порядка: разбить промежуток интегрирования на, скажем, тысячу отрезков, а потом -- просто найти максимум конечных разностей соотв. порядка по этому массиву. Конечно, никакой вычислительной ценности подобный подход не имеет, и оценка будет лишь приближённой, но если задача лишь в том, чтобы продемонстрировать работоспособность теоретической оценки погрешности -- то вполне сойдёт.

Limit79 в сообщении #846525 писал(а):

Вычислить интеграл по формуле трапеций с четырьмя десятичными знаками. Оценить точность вычислений ($n=8$)

Формулировка, да, несколько дикая. Можно лишь предположить, что в первой фразе имеется в виду количество значащих цифр, предлагаемых удерживать при вычислениях; зачем предлагаемых -- непонятно. Впрочем, для формулы трапеций по восьми отрезкам типичная ожидаемая относительная погрешность будет порядка полутора тысячных, так что четырёх цифр действительно более-менее достаточно.