2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Трансцендентно
Сообщение06.04.2014, 21:51 


04/06/12
393
Всем доброго вечера!

Пусть число $\alpha,\beta$ - трансцендентны. Может ли число $\alpha ^ \beta$ быть алгебраическим?

Какие здесь идеи могут быть? Подскажите, пожалуйста, только идею!

Может быть, надо как-то использовать то, что всякое число вида $\sum\limits_{n=1}^\infty {\alpha_n}$ при быстро убывающим $\alpha _n $ является трансцендентным и использовать меру иррациональности алг. чисел (типа, плохо будет приближаться рациональными дробями - алгебраическое)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трансцендентно
Сообщение06.04.2014, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1703
Москва
$e^{\ln2}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трансцендентно
Сообщение06.04.2014, 21:55 


04/06/12
393
ex-math в сообщении #846433 писал(а):
$e^{\ln2}$?

Гениально!
Остается только доказать вопрос трансцендентности для $\ln k$ при натуральных $k$.

(Оффтоп)

Попробую.

Предположим, $\alpha = \ln k \in \overline{\mathbb{Q}}$. Тогда $\exists P(x)=a(x-x_1)\ldots(x-x_n)$, т.ч. $ P(\alpha)=0$ и $e^\alpha = k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трансцендентно
Сообщение06.04.2014, 23:19 


19/05/10
3899
Россия
Terraniux в сообщении #846435 писал(а):
...Остается только доказать вопрос трансцендентности для $\ln k$ при натуральных $k$...

Ну и для полноты картины $e$

 Профиль  
                  
 
 Re: Трансцендентно
Сообщение06.04.2014, 23:22 


04/06/12
393
mihailm в сообщении #846489 писал(а):
Terraniux в сообщении #846435 писал(а):
...Остается только доказать вопрос трансцендентности для $\ln k$ при натуральных $k$...

Ну и для полноты картины $e$

Кстати, тоже нетривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трансцендентно
Сообщение07.04.2014, 01:14 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Terraniux в сообщении #846429 писал(а):
Пусть число $\alpha,\beta$ - трансцендентны. Может ли число $\alpha ^ \beta$ быть алгебраическим?

ну если и $e$ "не считается" трансцедентным, могу предложить такое рассуждение.

множество алгебраических чисел счетно, поэтому множество тех $x>0$, для которых $x$ алгебраическое или $\log_x 2$ алгебраическое, не более чем счетно. теперь берем одно из оставшихся $x$ и получаем $x^{\log_x 2}=2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трансцендентно
Сообщение07.04.2014, 01:23 


04/06/12
393
patzer2097 в сообщении #846542 писал(а):
Terraniux в сообщении #846429 писал(а):
Пусть число $\alpha,\beta$ - трансцендентны. Может ли число $\alpha ^ \beta$ быть алгебраическим?

ну если и $e$ "не считается" трансцедентным, могу предложить такое рассуждение.

множество алгебраических чисел счетно, поэтому множество тех $x>0$, для которых $x$ алгебраическое или $\log_x 2$ алгебраическое, не более чем счетно. теперь берем одно из оставшихся $x$ и получаем $x^{\log_x 2}=2$.

Да, хорошее рассуждение 8-).

 Профиль  
                  
 
 Re: Трансцендентно
Сообщение07.04.2014, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1703
Москва
Terraniux
Я отвечал на тот вопрос, который Вы сформулировали, пользуясь известными фактами трансцендентности $e$ и $\ln2$. Если Вам надо было ab ovo, это стоило отметить в старт-посте.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group