2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение07.04.2014, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
_Ivana в сообщении #846812 писал(а):
- включая нулевые, и наш текущий элемент последовательности многочленов готов. У него в нуле и единице первые $N$ производных (с нулевой по $N-1$ - ю) совпадают с нашей функцией. А далее просто увеличиваем $N$.


А, ну да, если нужно склеить первые $N$ производных, то достаточно многочлена. Только это ваше "увеличиваем $N$" является самым тонким моментом. Доказать, что последовательность бесконечно гладких функций сходится к бесконечно гладкой функции обычно довольно муторно.

_Ivana в сообщении #846812 писал(а):
2) Как из существования ряда Тэйлора бесконечно гладкой функции в одной точке (с известными коэффициентами разложения) следует существование и сходимость к пределу такой же конструкции, но заданной в двух точках?


Из того, что это локальное свойство. Возьмем 2 функции, у одной заданный ряд Тейлора в точке 0 (совершенно не обязательно сходящийся, может быть с любым ростом коэффициентов кстати), у другой в точке 1. Срежем одну в окрестности нуля, вторую в окрестности единицы и сложим.

_Ivana в сообщении #846385 писал(а):
во всех внутренних точках своей области определения она бесконечно дифференцируема.


Этого, кстати, недостаточно. Надо еще потребовать, чтобы все производные были непрерывны вплоть до границы, иначе могут быть примеры вроде $1/x$ при $x>0$ и $1/(x+1)$ при $x<-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение07.04.2014, 20:41 


05/09/12
2587
g______d в сообщении #846869 писал(а):
Из того, что это локальное свойство. Возьмем 2 функции, у одной заданный ряд Тейлора в точке 0 (совершенно не обязательно сходящийся, может быть с любым ростом коэффициентов кстати), у другой в точке 1. Срежем одну в окрестности нуля, вторую в окрестности единицы и сложим.
Простите, не понимаю. Возьмем мой пример выше - две константы. Ряд одной в нуле - тождественный ноль, ряд второй в единице - тождественная единица. Как их срезАть в окрестностях и склеивать, чтобы получить бесконечно гладкий переход?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение07.04.2014, 20:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
_Ivana в сообщении #846876 писал(а):
Возьмем мой пример выше - две константы. Ряд одной в нуле - тождественный ноль, ряд второй в единице - тождественная единица.


С двумя константами вообще просто. Существует функция, равная нулю при $x<0$, единице при $x>0$ и бесконечно гладкая на $\mathbb R$. Ее и вклеим.

Как строится такая функция? Сначала рассмотрим вспомогательную функцию $f(x)=e^{\frac{1}{x(x-1)}}$ при $x\in (0,1)$ и $f(x)=0$ для всех остальных $x$. Это пример всем известной bump function. Потом введем $g(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(t)\,dt$. Функция $g$ обладает всеми нужными свойствами кроме того, что при $x>1$ она равна неизвестно чему (не знаю, чему равен интеграл, может и берется). Поэтому надо умножить $g$ на константу.

В общем случае, если мы научились строить функцию с заданным рядом Тейлора в одной точке $x_0$, то с помощью умножения на функции типа $g$ можно дополнительно заставить ее быть равной нулю везде кроме $(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)$ и потом сложить 2 функции такого вида для разных $x_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение07.04.2014, 21:15 


05/09/12
2587
То есть, если я правильно понял, мы конструируем специальную "оконную" функцию $w$, которая бесконечно гладкая, равная тождественному нулю в окрестности нуля, и тождественной единице во внутренней подокрестности этой окрестности. А далее получаем по коэффициентам ряда Тэйлора нашу функцию в одной точке, умножаем ее на $w$ ("срежем" по вашей терминологии) и сложим с такой же "срезанной" по другой точке. Это похоже на то, что предлагал Munin. Все хорошо. Но не многочлены :-) Зато гарантированная сходимость. К сумме двух функций, срезанных на середине интервала до нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение07.04.2014, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
_Ivana в сообщении #846889 писал(а):
А далее получаем по коэффициентам ряда Тэйлора нашу функцию в одной точке, умножаем ее на $w$ ("срежем" по вашей терминологии) и сложим с такой же "срезанной" по другой точке.


Так сразу нет; здесь еще важен момент

g______d в сообщении #846880 писал(а):
В общем случае, если мы научились строить функцию с заданным рядом Тейлора в одной точке $x_0$


Это лемма Бореля, (излишне) общую формулировку и доказательство можно посмотреть здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Borel%27s_lemma

Два раза применяя эту лемму и используя срезки, можно получить такой факт: для любых двух последовательностей $a_n$, $b_n$ существует бесконечно гладкая функция на $(0,1)$, все производные которой непрерывны вплоть до границы, левые производные в точке $0$ образуют последовательность $a_n$, правые производные в точке $1$ образуют последовательность $b_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение07.04.2014, 21:45 


05/09/12
2587
g______d, лемму Бореля навскидку не осознал, но по вашей ссылке перешел вот сюда, где увидел мою $w$ под именем $h$ и некоторые слова, напоминающие ваши идеи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение07.04.2014, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Да, по ссылке проще и понятнее и без лишнего параметра. Я бы не стал называть это моими идеями; это нечто уже лет 100 известное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение07.04.2014, 22:39 


05/09/12
2587
g______d в сообщении #846960 писал(а):
это нечто уже лет 100 известное.
Да, я уже увидел там мои придуманные "шапочки", "гладкие ступеньки" из экспонент и прочие идеи, которые мне было лень поискать в википедии :oops: Очередной раз пытаюсь изобрести 100 лет известные велосипеды. Но еще остались вопросы. Например, если предположить, что мой многочлен, сглаживающий ступеньку, сходится к какой-то функции, то явно не к той, которая представлена по ссылке (из экспонент).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение07.04.2014, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
_Ivana в сообщении #846970 писал(а):
Например, если предположить, что мой многочлен, сглаживающий ступеньку, сходится к какой-то функции, то явно не к той, которая представлена по ссылке (из экспонент).


Ну очевидно, что ступеньку с такими же свойствами можно выбрать бесконечным числом способов. Например, заменить экспоненту на $e^{-\frac{1}{x^2(x-1)^2}}$. Поэтому нет никакой причины, чтобы многочлены сходились именно к ней.

Кроме того, напоминаю, что сходимость должна быть не только у самих многочленов, но и у всех их производных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение07.04.2014, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
_Ivana в сообщении #846970 писал(а):
Например, если предположить, что мой многочлен, сглаживающий ступеньку, сходится к какой-то функции, то явно не к той, которая представлена по ссылке (из экспонент)
Имеется в виду последовательность многочленов сходится к функции или я не ф теме?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение07.04.2014, 22:51 


05/09/12
2587
Dan B-Yallay Да, я проглотил некоторые нужные слова для краткости и по незнанию. Конечно же имеется в виду последовательность многочленов, при увеличении их степени. Как, например, последовательность базисных многочленов Лагранжа при увеличении степени сходится к синку. Вот и здесь я хотел обнаружить что-то подобно красивое из этий серии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение07.04.2014, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
_Ivana
Ясно. У меня только этот вопрос был, а по существу добавить пока нечего... :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение07.04.2014, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
_Ivana в сообщении #846970 писал(а):
Очередной раз пытаюсь изобрести 100 лет известные велосипеды.

Это, в общем, хорошо. Пока вы:
- признаёте, что это велосипеды;
- смотрите, ездят они или нет (ваши), и сравниваете их по этому параметру с чужими.
Мозги развивает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение08.04.2014, 01:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
_Ivana в сообщении #846976 писал(а):
Как, например, последовательность базисных многочленов Лагранжа при увеличении степени сходится к синку.


Если вы хотите идти по этому пути, то первым вопросом должно быть "как именно сходятся?". А, хотя я повторяюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение08.04.2014, 02:32 


05/09/12
2587
Я могу ошибаться, но у меня подозрение, что базисные многочлены Лагранжа сходятся к синку со всеми своими производными. И еще я бы добавил, на любом конечном интервале.
В случае "врезки" интервал задан и конечен по условию. Только что будет при увеличении степени, пока не получается промоделировать. И если интерполяцию Лагранжем я рассчитывал до полиномов степеней порядка нескольких тысяч на старой бухгалтерской программе, то сейчас на Матлабе пока не придумаю, как рассчитать эти "врезки" до степеней больше пары десятков.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group