2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Детерминант матрицы. Почему именно такое определение?
Сообщение01.04.2014, 10:59 


04/03/14
194
Как его вычислять -- это я знаю. Но почему именно так его нужно вычислять, а не иначе? Почему именно так устроено определение детерминанта? Можно ли это на пальцах объяснить, не углубляясь в дальнейшую теорию сильно?

Для матрицы $n \times n$ определителем будет:

$\Delta=\sum_{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n} (-1)^{N(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)} \cdot a_{\alpha_11} \cdots a_{\alpha_nn}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы. Какой смысл?
Сообщение01.04.2014, 11:04 


19/05/10

3940
Россия
Для чего определитель? чтоб СЛАУ по Крамеру решать. Если по другому определитель определить - ответы неверные будут, а это не хорошо

 Профиль  
                  
 
 Re: Детерминант матрицы. Почему именно такое определение?
Сообщение01.04.2014, 11:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Полностью антисимметричная $n$-линейная форма единственна с точностью до умножения на скаляр. Если потребовать, чтобы на единичной матрице она равнялась единице, получится детерминант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы. Какой смысл?
Сообщение01.04.2014, 12:10 


04/03/14
194
mihailm в сообщении #844034 писал(а):
Для чего определитель? чтоб СЛАУ по Крамеру решать. Если по другому определитель определить - ответы неверные будут, а это не хорошо

А почему именно так нужно определять, чтобы были верные ответы?

-- 01.04.2014, 13:10 --

g______d в сообщении #844037 писал(а):
Полностью антисимметричная $n$-линейная форма единственна с точностью до умножения на скаляр. Если потребовать, чтобы на единичной матрице она равнялась единице, получится детерминант.

ничего не понятно(

 Профиль  
                  
 
 Re: Детерминант матрицы. Почему именно такое определение?
Сообщение01.04.2014, 12:15 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Don-Don в сообщении #844055 писал(а):
ничего не понятно(

А жаль. :) Потому что именно это хорошее, правильное и совершенно прозрачное определение, а не то, которое Вы привели и которое действительно выглядит как набор букв (что-то умножили, что-то сложили, шаманство, да и только). Да, понятно, что Вам так давали. Но Ваша формула получается из того естественного определения, которое привел g______d, а не наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детерминант матрицы. Почему именно такое определение?
Сообщение01.04.2014, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Это единственная функция, которая равна нулю на линейно зависимых строках, линейная по каждой строке и равная 1 на единичной матрице. Можете посмотреть тут, лекция 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детерминант матрицы. Почему именно такое определение?
Сообщение01.04.2014, 12:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Определитель матрицы — это ориентированный объем параллелепипеда, рёбра которого — её столбцы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детерминант матрицы. Почему именно такое определение?
Сообщение01.04.2014, 12:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Don-Don в сообщении #844055 писал(а):
ничего не понятно

Если я правильно понимаю, Вам для начала надлежит "разделить" в своей голове функцию, называемую детерминантом, и способы/алгоритмы её вычисления - которых тьма-тьмущая :wink:

Формула из первого поста - некий способ. Он, конечно, задаёт некую функцию и может быть использован как определение. Но вот вычислять её указанным способом совсем не обязательно (и очень накладно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Детерминант матрицы. Почему именно такое определение?
Сообщение01.04.2014, 13:03 


04/03/14
194
nikvic в сообщении #844074 писал(а):
Формула из первого поста - некий способ. Он, конечно, задаёт некую функцию и может быть использован как определение. Но вот вычислять её указанным способом совсем не обязательно (и очень накладно).

Да вычислить могу я могу и через инверсии, и через алгебраические дополнения, только вот не понимаю -- почему так все устроено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детерминант матрицы. Почему именно такое определение?
Сообщение01.04.2014, 13:07 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Don-Don в сообщении #844080 писал(а):
Да вычислить могу я могу и через инверсии, и через алгебраические дополнения, только вот не понимаю -- почему так все устроено.

А Вам говорят: разделяйте способы вычисления и суть. Суть одна, как Вы ни считайте. Это то, о чем Вам говорят g______d и Xaositect и nikvic и уже кто только не говорит. Ссылку прочитали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы. Какой смысл?
Сообщение01.04.2014, 13:27 


19/05/10

3940
Россия
Don-Don в сообщении #844055 писал(а):
mihailm в сообщении #844034 писал(а):
Для чего определитель? чтоб СЛАУ по Крамеру решать. Если по другому определитель определить - ответы неверные будут, а это не хорошо

А почему именно так нужно определять, чтобы были верные ответы?...

Что значит почему? это задача такая математическая, придумать такую формулу - результат вот он.

(Оффтоп)

Можно кстати и по другому вопрос понять - почему нужно определять, чтобы ответ был правильный?
Зацикливаться только на правильных ответах несправедливо по отношению к неправильным? Вы это имели в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Детерминант матрицы. Почему именно такое определение?
Сообщение01.04.2014, 13:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Ну, давайте начнём с исторического подхода. Появляются в разных прикладных задачах линейные уравнения. И их надо решать. В ходе попыток для системы двух уравнений с двумя неизвестными получается простая формула с суммой произведений в знаменателе. При этом она отвечает на вопрос "А вообще система решается?". Определяет, есть ли решение. Детерминирует, отчего её так и назвали. Для системы из трёх уже не так просто, но также произведения элементов из разных столбцов и строк с разными знаками. Точно так же, если это выражение равно нулю, то решения у неоднородной системы нет, а у однородной есть. Далее обобщают по индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детерминант матрицы. Почему именно такое определение?
Сообщение01.04.2014, 22:01 


04/03/14
194
Евгений Машеров в сообщении #844105 писал(а):
Ну, давайте начнём с исторического подхода. Появляются в разных прикладных задачах линейные уравнения. И их надо решать. В ходе попыток для системы двух уравнений с двумя неизвестными получается простая формула с суммой произведений в знаменателе. При этом она отвечает на вопрос "А вообще система решается?". Определяет, есть ли решение. Детерминирует, отчего её так и назвали. Для системы из трёх уже не так просто, но также произведения элементов из разных столбцов и строк с разными знаками. Точно так же, если это выражение равно нулю, то решения у неоднородной системы нет, а у однородной есть. Далее обобщают по индукции.


О, вот это уже интересно, спасибо! Значит так было в реальности? Отсюда и появились определители и матрицы?

-- 01.04.2014, 23:04 --

Xaositect в сообщении #844060 писал(а):
Это единственная функция, которая равна нулю на линейно зависимых строках, линейная по каждой строке и равная 1 на единичной матрице. Можете посмотреть тут, лекция 4.

Ок, спасибо, почитал, понятно. А для чего нужна линейная зависимость или независимость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Детерминант матрицы. Почему именно такое определение?
Сообщение01.04.2014, 22:26 


11/04/08
632
Марс
Don-Don в сообщении #844032 писал(а):
Почему именно так устроено определение детерминанта?

Вопрос не правильно сформулирован. Правильно как-то так: чем интересна величина \sum_{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n} (-1)^{N(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)} \cdot a_{\alpha_11} \cdots a_{\alpha_nn}$.
А интересна она, например, тем, что является инвариантом линейного оператора, т.е. в каком базисе матрицу его ни бери, определители этих матриц будут везде одинаковые. Это не единственный инвариант оператора, но один из наиболее полезных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Детерминант матрицы. Почему именно такое определение?
Сообщение02.04.2014, 08:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Don-Don в сообщении #844336 писал(а):
Евгений Машеров в сообщении #844105 писал(а):
Ну, давайте начнём с исторического подхода. Появляются в разных прикладных задачах линейные уравнения. И их надо решать. В ходе попыток для системы двух уравнений с двумя неизвестными получается простая формула с суммой произведений в знаменателе. При этом она отвечает на вопрос "А вообще система решается?". Определяет, есть ли решение. Детерминирует, отчего её так и назвали. Для системы из трёх уже не так просто, но также произведения элементов из разных столбцов и строк с разными знаками. Точно так же, если это выражение равно нулю, то решения у неоднородной системы нет, а у однородной есть. Далее обобщают по индукции.


О, вот это уже интересно, спасибо! Значит так было в реальности? Отсюда и появились определители и матрицы?

-- 01.04.2014, 23:04 --

Xaositect в сообщении #844060 писал(а):
Это единственная функция, которая равна нулю на линейно зависимых строках, линейная по каждой строке и равная 1 на единичной матрице. Можете посмотреть тут, лекция 4.

Ок, спасибо, почитал, понятно. А для чего нужна линейная зависимость или независимость?


Судя по четырёхтомной "Истории детерминантов" Muir'а
http://www.twirpx.com/file/592680/
http://www.twirpx.com/file/592685/
http://www.twirpx.com/file/592689/
http://www.twirpx.com/file/592697/

развивалось в связи с решением уравнений, в 1750 году Крамер предложил формулу, дававшую решения системы линейных уравнений, в которой использовались всевозможные произведения элементом матрицы, по одному из каждого столбца и каждой строки, суммировавшиеся со знаками, определявшимися чётностью числа инверсий подстановки индексов. Затем тему разрабатывали Безу, Вандермонд, Лаплас, Лагранж в связи с решением систем уравнений. А само слово "детерминант" придумал Гаусс в 1801 году ("определитель" это буквальный перевод).
А выяснять линейную зависимость надо потому, что если в системе n уравнений с n неизвестными одно или более линейно зависит от прочих, значит, у нас на самом деле меньше уравнений, чем n.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group