2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Бендер и стулья (теорвер)
Сообщение31.03.2014, 12:22 
Аватара пользователя


20/03/12
139
На одном из матфорумов возник спор по поводу следующей задачи.

Остап Бендер достает очередной гарнитур из 12 стульев. Вероятность того, что в этом гарнитуре спрятан клад равна Р. После вскрытия первых 11 стульев клад не обнаружен. Какова вероятность того, что он есть в 12 стуле?

Есть два мнения

1. Вероятность останется равной $P$
2. Вероятность изменится и станет равной $\frac P{12-11P}$

Кто прав, кто виноват?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бендер и стулья (теорвер)
Сообщение31.03.2014, 12:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Вроде вероятность должна уменьшиться. Представим себе кучу гарнитуров, часть (доля $p$) содержит клад, остальные - нет. Вскроем в каждом 11 стульев. Во второй группе клад не будет найден. А в первой - в каких-то будет найден. Значит, доля "складных" (с кладом) гарнитуров уменьшится, часть "отпадут", клад будет найден.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бендер и стулья (теорвер)
Сообщение31.03.2014, 13:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Human в сообщении #843472 писал(а):
1. Вероятность останется равной $P$
Это правильно, ведь это сказано в условии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бендер и стулья (теорвер)
Сообщение31.03.2014, 13:17 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Human в сообщении #843472 писал(а):
Кто прав, кто виноват?

Первое мнение - правильное.

provincialka в сообщении #843496 писал(а):
Вроде вероятность должна уменьшиться.

Предположим, что мы кидаем монетку (нормальную, у которой вероятность выпадения какой-то одной стороной вверх равна 1/2). Монетка при первых трех бросках все три раза выпала гербом вверх. Следует ли из этого, что вероятность того, что она выпадет гербом вверх при четвертом броске, стала больше? меньше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бендер и стулья (теорвер)
Сообщение31.03.2014, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Pphantom в сообщении #843518 писал(а):
Следует ли из этого, что вероятность того, что она выпадет гербом вверх при четвертом броске, стала больше? меньше?

Монетки все одинаковые, любая из них может хоть 100 раз упасть орлом. А гарнитуры - разные.
Я рассуждаю в предположении, что их конечное число, хоть и большое. Впрочем, думаю, это не важно.
Рассмотрим две гипотезы: $H_1$ - в гарнитуре есть клад, вероятность этой гипотезы $p$. Противоположная гипотеза $H_2$ имеет вероятность $1-p$. Вероятность того, что вскрыв 11 стульев мы клад не найдем, равна $p\cdot\frac{1}{12}+(1-p)\cdot 1=1-\frac{11p}{12}$. Тогда по Байесу вероятность гипотезы, что он там все же есть, равна $\dfrac{p\cdot\frac{1}{12}}{1-\frac{11p}{12}}$В чем здесь ошибка?

Вот перед моим мысленным взором лежит куча почти вскрытых гарнитуров (вдоль берега моря, как у отца Федора). Я, будучи экстрасенсом, откладываю влево те, в которых клада и не было. Другие делятся на две группы: с найденным кладом и с ненайденным. Получаем три кучки: где клада нет, $a=N(1-p)$, где он найден $b=N\frac{11}{12}p$ и где есть, но не найден $c=N\frac{1}{12}p$. По моему мнению, вероятность найти клад равна отношению $\frac{c}{a+c}$. Не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бендер и стулья (теорвер)
Сообщение31.03.2014, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Задача недосформулирована. После некоторого уточнения, что понимается под
Human в сообщении #843472 писал(а):
Вероятность того, что в этом гарнитуре спрятан клад равна Р

её можно рассматривать, например, как задачу на теорему Байеса.
Тогда есть два гипотезы $H_0$. что у нас "пустышка" и $H_1$, что клад у нас есть. Априорные их вероятности (1-P_ и P, соответственно.
После вскрытия 11 стульев гипотеза "клад в 12м стуле" равносильна гипотезе $H_1$
Найдём её апостериорную вероятность, зная событие $N_{11}$. отсутствие клада в первых 11 стульях
$P(H_1|N_{11})=\frac {P(N_{11}|H_1)P} {P(N_{11}|H_1)P+P(N_{11}|H_0)(1-P)}$
Очевидно, $P(N_{11}|H_0)=1$, а $P(N_{11}|H_1)=\frac 1 {12}$
Таким образом, верно второе решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бендер и стулья (теорвер)
Сообщение31.03.2014, 13:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
:mrgreen: Пора устраивать голосование!

 Профиль  
                  
 
 Re: Бендер и стулья (теорвер)
Сообщение31.03.2014, 14:00 
Аватара пользователя


29/04/13
7128
Богородский
Если не ставить под сомнение Условие, то верен 1-й вариант:

1. Вероятность останется равной $P$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бендер и стулья (теорвер)
Сообщение31.03.2014, 14:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва

(Оффтоп)

Только хардкор, только Майдан!

 Профиль  
                  
 
 Re: Бендер и стулья (теорвер)
Сообщение31.03.2014, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Да, я поняла. Я воспринимала условие так: "вероятность того, что в некотором гарнитуре есть клад", а там написано: "Вероятность того, что в этом гарнитуре есть клад". Вот в чем причина разных ответов!
Хотя что значит "вероятность того, что в этом гарнитуре..." Этот гарнитур - один, ив нем клад либо есть, либо нет, при чем тут вероятность? В общем, получается некорректная постановка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бендер и стулья (теорвер)
Сообщение31.03.2014, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Yadryara в сообщении #843553 писал(а):
Если не ставить под сомнение Условие, то верен 1-й вариант:

1. Вероятность останется равной $P$


В условии пропущено, вероятность чего. Отсюда неопределённость. Вероятностный механизм, генерировавший гарнитуры с брильянтами с вероятностью P, остался тем же и после серии испытаний. Но вот вероятность того, что в тех гарнитурах, в которых мы уже проверили 11 стульев и не нашли клада, клад таки есть, уже не P.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бендер и стулья (теорвер)
Сообщение31.03.2014, 14:18 
Аватара пользователя


29/04/13
7128
Богородский
Евгений Машеров в сообщении #843563 писал(а):
В условии пропущено, вероятность чего.

Нет, не пропущена:
Human в сообщении #843472 писал(а):
Какова вероятность того, что он есть в 12 стуле?

И в данном случае, она такая же, как и вероятность обнаружить его во всей партии.

Интересно, что скажет --mS--.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бендер и стулья (теорвер)
Сообщение31.03.2014, 14:35 


26/08/11
2057
Есть $n$ гарнитур (по 12 стульев $12n$ стульев) В один из стульев есть клад. Остап Бендер достает первую гарнитуру. Вероятность, что там есть клад $P=\frac 1 n$
После вскрытия любого пустого стулья, вероятность у всех остальных увеличивается.
После вскрытия 11 стульев вероятность каждого из остальных (вкл. последний из этой гарнитуры) равна $\frac{1}{12n-11}=\frac{P}{12-11P}$

-- 31.03.2014, 13:41 --

Евгений Машеров в сообщении #843563 писал(а):
Вероятностный механизм, генерировавший гарнитуры с брильянтами с вероятностью P
В том то и дело. Как сгенерирована вероятность $P$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бендер и стулья (теорвер)
Сообщение31.03.2014, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Надоело думать, поэтому взял топор и порубил все стулья в округе, опытным путем подтвердив, что второй ответ правильный. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Бендер и стулья (теорвер)
Сообщение31.03.2014, 14:45 
Аватара пользователя


29/04/13
7128
Богородский
Shadow в сообщении #843577 писал(а):
Есть $n$ гарнитур (по 12 стульев $12n$ стульев) В один из стульев есть клад. Остап Бендер достает первую гарнитуру. Вероятность, что там есть клад $P=\frac 1 n$

Уважаемый Shadow, это произвольное допущение. Этого нет в условии.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group