2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел
Сообщение27.03.2014, 21:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Вычислить предел
$$
\lim\limits_{n \to \infty} n^2 \left(\int\limits_0^1 (1 + x^n)^{\frac{1}{n}}dx - 1 \right)
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение27.03.2014, 22:02 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Очевидно 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение27.03.2014, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Почему? В ответе $\frac{\pi^2}{12}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение27.03.2014, 22:43 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Да, в разложении
$(1+x^n)^{1/n}=1+\frac 1n x^n+\frac 1n (\frac 1n -1)/2 x^{2n}+...$
следующие члены такого же порядка, а я брал только один член после 1.

Основной вклад около х=1. Необходимо более точное разложение вблизи х=1.
Сделаем замену $x=e^{-y/n}$. Тогда
$$n\int_0^{\infty}[(1+e^{-y})^{1/n}-1]dy=\int_0^{\infty}e^{-y/n}[e^{-y}+(\frac 1n -1)/2 e^{-2y}+(\frac1n -1)(\frac 1n -2)/3! e^{-3y)+...}dy=$$
$$1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+...=\zeta(2)-\frac 12\zeta (2)=\frac{\pi^2}{12}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение27.03.2014, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Довольно легко решается разложением подынтегральной функции в степенной ряд и почленным интегрированием. Получаем
$$
\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}\left(1-\frac1n\right)\ldots\left(1-\frac1{(k-1)n}\right)\left(1+\frac1{kn}\right)^{-1}.
$$
Произведение скобок отличается от $1$ на величину порядка $O(\frac1n \ln k)$, откуда следует требуемое. По-моему, проще и естественнее, чем у Руст.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение27.03.2014, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Я не очень понимаю, почему можно почленно переходить к пределу, тем самым избавляясь от этих лишних скобок.

-- Чт мар 27, 2014 23:26:42 --

А, все, понял, спасибо!

-- Чт мар 27, 2014 23:46:07 --

Я как раз не мог объяснить отбрасывание лишних скобок(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group