2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение06.06.2015, 03:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin ^ 2(x)}{x^2} \mathrm{d}x$$
$$\frac{1}{\sin(3\pi/7)} - \frac{1}{\sin(\pi/7)} + \frac{1}{\sin(2\pi/7)} = 0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение07.06.2015, 16:10 


13/07/10
99
$$\sum\limits_{N\leqslant n<2N}^{}(\sum\limits_{i=1}^{k}\chi_{P}(n+h_i)-\rho)(\sum\limits_{d_1,...,d_k:d_i|n+h_i}^{}\lambda_{d_1,...,d_k})^2$$
$$=\frac{\varphi(W)^kN(\log(R))^k}{W^{k+1}}((\frac{\theta}{2}-\varepsilon)\sum\limits_{m=1}^{k}J_{k}^{(m)}(F)-\rho I_{k}(F)+o(1))$$
где:
$$\lambda_{d_1,...,d_k} = \prod\limits_{i=1}^{k}\mu(d_i) d_i \sum\limits_{r_1,...,r_k:r_i|d_i, (r_i,W)=1}^{}\frac{\mu(r_1 ... r_2)^2}{\varphi(r_1)...\varphi(r_k)}F(\frac{\log(r_1)}{\log(R)},...,\frac{\log(r_k)}{\log(R)})$$ - коэффициенты многомерного решета Сельберга с весами,

$W=\prod\limits_{p\leqslant logloglogN}^{}p$ - праймориал, $\rho>0$ - фиксированная величина, $\theta$ - уровень распределения множества простых чисел (Виноградов доказал, что $\theta<1/2$ ),
$F:[0,1]^k\to\mathbb{R}$ - кусочно-гладкая функция, определенная на симплексе $R_k={(x_1,...,x_k)\in[0,1]^k:\sum\limits_{i=1}^{k}\leqslant 1}$
$$I_k(F)=\int\limits_{R_k}^{}F^2(x_1,...,x_k)dx_1...dx_k$$
$$ J_k^{(m)}(F)=\int\limits_{R_{k-1}}^{}(\int\limits_{0}^{1-\sum\limits_{i\ne m}^{}x_i}F(x_1,...,x_k)dx_m)^2dx_1...dx_{m-1}dx_{m+1}...dx_k$$
$h_i$ - элементы произвольного набора $H$ неотрицательных чисел, удовлетворяющего следующему свойству: $\forall p\in P  \exists a_p\ne h_i\pmod p$ для всех $h_i\inH$.

Это соотношение было выведено и доказано Мэйнердом, с помощью которого, он установил, что $\lim\limits_{n\to\infty}^{}\inf\limits_{}(p_{n+1}-p_{n})\leqslant 600$. Впоследствии Теренс Тао опустил оценку до 246.

Задача сводится к необходимости доказать, что исходная сумма положительна для больших N. Для этого достаточно найди функцию, для которой $$\frac{\sum\limits_{m=1}^{k}J_{k}^{(m)}(F)}{I_{k}(F)}>4$$
Таким образом, решение проблемы близнецов (и ее обобщения) сводится к вопросам оптимизации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение07.06.2015, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1727
Москва
Так уж и сводится. Поживем -- увидим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение22.06.2015, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4405
Пусть $x_i \in \mathbb Z, i=1,...,n$. Тогда
$$\prod_{1\leq i < j\leq n} \frac{x_j-x_i}{j-i} \in \mathbb Z.$$
Поначалу не хотелось даже вникать в аргументацию обоснования (там есть с красивой идеей доказательство) -- настолько сложно было в это поверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение22.06.2015, 07:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1539
grizzly
:shock:
Ссылку можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение22.06.2015, 08:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
whitefox, http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h56803

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение22.06.2015, 08:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1539
Nemiroff
Спасибо :D
Вот как-то сразу и не распознал Вандермонда :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение04.07.2015, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4405
Product of at most continuum many separable spaces is still separable

(Оффтоп)

1) Моя интуиция всё понимает, но сдаваться без боя не собирается :D
2) В этой теме предполагаются скорее формулы; там по ссылке есть обобщающая формула, но она так сразу не впечатляет, имхо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение02.08.2015, 23:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4405
Вот тоже впечатлило:
$$
\sqrt{2}=1+\cfrac{2\,e^{-\pi/2}}{1-e^{-\pi}+\cfrac{e^{-\pi}(1+e^{-\pi})^2}{1-e^{-3\pi}+\cfrac{e^{-2\pi}(1+e^{-2\pi})^2}{1-e^{-5\pi}+\ddots}}}
$$
Здесь скорость сходимости какая-то невероятная, сам руками проверял :D Это с MSE. Там в последнее время появилась серия интересных сообщений от последователей Рамануджана.

(Оффтоп)

Я ещё вот это хотя бы в оффтопе оставлю, пусть полежит. Я когда-то давно слышал, но потом потерял, еле нашёл. Кто первый раз это видит, редко остаётся равнодушным :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение03.08.2015, 10:16 
Заморожен


20/12/10
5623
Ещё одна формула Рамануджана. Пусть $\alpha_i$, $\beta_i$ и $\gamma_i$ --- коэффициенты разложения Тейлора при $x=0$ рациональных функций
$$
\frac{1+53x+9x^2}{1-82x-82x^2+x^3}, \quad
\frac{2-26x-12x^2}{1-82x-82x^2+x^3}, \quad
\frac{2+8x-10x^2}{1-82x-82x^2+x^3}
$$
соответственно. Тогда все они целые числа, причём $\alpha_i^3+\beta_i^3=\gamma_i^3+(-1)^i$ для любого $i=0,1,2,\dots$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение24.08.2015, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2466
Физтех
$$\int\limits_0^\infty  {\frac{{\sin x}}{x}dx}  = \int\limits_0^\infty  {\frac{{\sin x}}{x}\frac{{\sin \left( {{x \mathord{\left/
 {\vphantom {x 3}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} 3}} \right)}}{{{x \mathord{\left/
 {\vphantom {x 3}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} 3}}}dx}  = ... = \int\limits_0^\infty  {\frac{{\sin x}}{x}...\frac{{\sin \left( {{x \mathord{\left/
 {\vphantom {x {13}}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {13}}} \right)}}{{{x \mathord{\left/
 {\vphantom {x {13}}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {13}}}}dx}  = \frac{\pi }{2}$$
Однако $$\int\limits_0^\infty  {\frac{{\sin x}}{x}...\frac{{\sin \left( {{x \mathord{\left/
 {\vphantom {x {15}}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {15}}} \right)}}{{{x \mathord{\left/
 {\vphantom {x {15}}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {15}}}}dx}  = \frac{{467807924713440738696537864469}}{{935615849440640907310521750000}} \cdot \pi  \approx 0.50 \cdot \pi$$ А все потому что $$\frac{1}{3}+...+\frac{1}{13} < 1, \ \frac{1}{3}+...+\frac{1}{15} > 1$$ Множители $1/3,1/5,1/7$ и т.д. можно заменить на произвольные положительные числа $a_1,...,a_n$, и интеграл будет равен $\pi/2$ только в случае $1 \ge a_1+...+a_n$.

Доказательство нетривиально, см. http://link.springer.com/article/10.1023%2FA%3A1011497229317#page-1

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение24.08.2015, 19:07 
Заморожен


20/12/10
5623
ShMaxG в сообщении #1047471 писал(а):
Доказательство нетривиально
Да как-то в лоб там всё считается, здесь эта тема не раз обсуждалось. Кажется, где-то в теме "Физ-мат юмор" сообщение есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение07.11.2015, 09:15 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5681
 i  Формулы AlexSam выделены в отдельную тему

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение30.11.2015, 18:18 


05/02/13
124
При $0 < p < 1$ верно, что $(L_p(E))^\ast = \{0\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные красивые соотношения
Сообщение18.12.2015, 11:21 


13/10/14
23
Челябинск
hypersphere в сообщении #840778 писал(а):
Примерно, так:

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$


Повысилась степень и упростилось выражение(представление).

а так:

$\sin(a-b)\sin(a+b)=\sin^2a-\sin^2b$

.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group