2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение02.04.2014, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1596
spb
Классическое $$\frac{\pi}{2} = \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2 \frac{1}{2n + 1} $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение02.04.2014, 18:19 
Заблокирован


24/03/14

55
$\pi \cdot e=6\prod \limits_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{k}{k+1}\right )^{2k}\left (\frac{2k+3}{2k+1} \right )^{2k+1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение03.04.2014, 04:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4341
Для почти всех $\alpha\in\mathbb R$
$$
\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{q_n(\alpha)}=e^{\frac{\pi^2}{12\ln 2}},
$$
где $q_n(\alpha)$ — знаменатель цепной дроби, образованной первыми $n$ неполными частными цепной дроби для $\alpha$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение03.04.2014, 14:54 


26/04/11
10
Цитата:
Эх, хотел без дополнительных обозначений обойтись, и вышла ерунда

Можно и без дзета-обозначений записать, если знакопеременные ряды задействовать:
$$
\zeta(s)=\Bigl(1-\frac{1}{2^{s-1}}\Bigr)^{-1}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}.
$$
Здесь для сходимости $\operatorname{Re} s>0$ уже достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение18.03.2015, 21:06 


07/10/06
70
Для $f(x)$ и $g(x)$, принадлежащих $C^{\infty}$, сумма

$\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n} f_n(x)g_{-n-1}(x)$

не зависит от $x$

где

$f_n(x)=\frac {d^n} {dx^n} f(x)$

отрицательные $n$ соответствуют взятию $n$-кратного интеграла (все возникающие при этом константы обнуляем)

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение20.03.2015, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12842
Москва
Три А,да в сообщении #992185 писал(а):
Для $f(x)$ и $g(x)$, принадлежащих $C^{\infty}$, сумма

$\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n} f_n(x)g_{-n-1}(x)$

не зависит от $x$

где

$f_n(x)=\frac {d^n} {dx^n} f(x)$

отрицательные $n$ соответствуют взятию $n$-кратного интеграла (все возникающие при этом константы обнуляем)
И о существовании суммы можно не беспокоиться? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение22.03.2015, 13:07 


07/10/06
70
Brukvalub в сообщении #993285 писал(а):
И о существовании суммы можно не беспокоиться? :shock:


Прошу прощения, если написал неточно. В данном случае имеется ввиду конечно, если сумма существует, то значение суммы не зависит от $x$.
Обозначим сумму через $S(x)$. Тогда, если сумма существует и найдена в какой-либо одной точке $x_0$ (равна конечному числу или бесконечности), то для любой другой точки $x$ можно записать
$S(x)=S(x_0)$
Исключения могут составлять точки разрыва, если такие имеются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение26.03.2015, 15:08 
Заслуженный участник


11/05/08
31118
g______d в сообщении #842428 писал(а):
у меня не сразу получилось доказать, так что для меня, наверное, не банальность.

интересно, а почему?... Ведь первое, что приходит в голову, это попытаться посчитать $\int\limits_0^1x^n\ln^nx\,dx$, который равен $(-1)^n(n+1)^{-n-1}$ просто потому, что это гамма-функция. Хотя результат, да, приятный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение13.05.2015, 21:08 


05/02/13
124
Разложение пирога. (калька с английского)
Пусть $E \subset \mathbb R^n$ - измеримое множество, и $f > 0$ - измеримая на нём функция. Тогда
$$f(x)=\int\limits_0^{+\infty} \chi_{E[f>t]}(x)\,dt$$, где $\chi$ - характеристическая функция.


Интересная метризуемость.
Пусть $\{X_n\},X$ - случайные величины, причём $X_n \to X$ по распределению. Тогда

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left(\inf\{\varepsilon > 0: F_{X_n}(x-\varepsilon) - \varepsilon < F_X(x) < F_{X_n}(x+\varepsilon) + \varepsilon \quad \forall x \in \mathbb R\}\right)=0,$$

где $F_Y(x)$ - функции распределения случайной величины $Y$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение20.05.2015, 18:32 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5200
maxal в сообщении #1017354 писал(а):
Я закинул эту задачу в Crux Mathematicorum, и там некто M. Bataille построил такое разложение:
$$\sum_{k=1}^n a_k^3 - \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)^2 = \sum_{k=1}^n a_k \sum_{j=1}^k (a_j + a_{j-1})(a_j - a_{j-1} -1),$$
где доопределено $a_0=0$. Отсюда моментально следует, что для $a_0=0<a_1<a_2<\dots<a_n$ это выражение неотрицательно и равно нулю только если равны нулю все $a_j - a_{j-1} -1$, то есть, $a_j=a_{j-1}+1$ для всех $j$. Значит, $a_j=j$, ч.т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение22.05.2015, 19:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4080
Здесь сейчас рассматривают такие равенства (из вложенных ссылок там видна мотивация вопроса):
$$\sum\limits_{m=1}\limits^{\infty}\sum\limits_{n=1}\limits^{m-1}\frac{  1}{m n\left(m^2-n^2\right)^2}=
\sum\limits_{m=1}\limits^{\infty}\sum\limits_{n=m+1}\limits^{\infty}\frac{  1}{m n\left(m^2-n^2\right)^2}=\dfrac{\pi^6}{2^5\cdot 3^4\cdot 5}$$
Интерес вызывает как первое, так и второе равенство (даже не знаю, кому какое больше :)
Они там пока не доказаны (но с высокой долей правдоподобия установлены численными методами).

-- 22.05.2015, 20:04 --

С первым равенством разобрались -- слева есть то же, что справа, но с другим порядком суммирования. Просто, но немного необычно (жаль, магия рассеивается :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение22.05.2015, 20:51 
Аватара пользователя


02/01/14
231
Вероятность несократимости дроби $\frac{m}{n}$ с натуральными $m, n$ равна $\frac{6}{\pi^2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение22.05.2015, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1704
Москва
grizzly
Может, на простые дроби попробовать разложить, а для сумм таких дробей и асимптотики можно получить (как для частичной суммы гармонического ряда). Вот только лень возиться :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение22.05.2015, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4080
ex-math
Спасибо! Я уверен, что Вы не ошиблись. Я попытаюсь. К тому же нашёл по ссылкам здесь доказанное предложенным Вами способом похожее равенство:
$$\sum\limits_{k=1}\limits^{\infty} \sum\limits_{n=1}\limits^{\infty} 
\frac{1}{n^2k^2(n+k)^2} & = \frac{1}{3}\zeta(6)$$
(Решил и его включить в эту тему. Я раньше с такими двойными суммами не сталкивался, и вот показалось захватывающе красивым :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение05.06.2015, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4080
Совсем элементарно формулируемое утверждение (J.C.Lagarias, 2000) эквивалентно гипотезе Римана (по ссылке есть наглядный график, но я не знаю, разрешают ли его оттель брать):

Для всех $n\ge 1$
$$
\sum\limits_{d|n}d\le H_n + e^{H_n}\ln H_n,\qquad \text{где} \quad H_n=1+\frac12+\frac13+...+\frac1n.
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group