2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение24.03.2014, 22:13 
Аватара пользователя


05/11/11
84
Подскажите, пожалуйста, книгу, где был бы описан общий метод решения диофантовых уравнений 2-й степени в общем виде:

$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$.

Ну или хотя бы таких уравнений:

$x^2 - my^2 = c$,

которые похожи на уравнения Пелля. Кстати, у них есть специальное название?

P. S. Решение последнего уравнения рассматривается в журнале "Квант" №4 а 2002 год, но в нём где-то содержится ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение24.03.2014, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1704
Москва
Боюсь, в готовом виде не найдете. Но что мешает сделать все самому? Линейными (при необходимости унимодулярными) заменами приведите к простейшему виду, а там и книжки помогут. Вообще, про квадратичные формы много где можно найти, даже в простейшей книге Бухштаба.

С таким Пеллем вообще нетрудно справиться. В отличие от $c=\pm1$ может быть несколько серий решений. Наименьшие в этих сериях лежат между первым и вторым решениями первой серии, что легко показать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение25.03.2014, 09:17 
Заслуженный участник


08/04/08
8343
У Боревича и Шафаревича подробно расписано решение уравнений $x^2-my^2=c$ в общем виде. М.б. в книге Дирихле Теория чисел найдете весь вопрос.
Только имейте ввиду, что уравнения вида $x^2+y^2=A$ там решаются через факторизацию $A$ или вообще перебором.

qx87 в сообщении #840397 писал(а):
Кстати, у них есть специальное название?
Вроде так и называется: обобщенное уравнение Пелля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение25.03.2014, 13:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
691
Общего метода решения данного уравнения
$$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$
не существует, поскольку это уравнение включает в себя и уравнения вообще не имеющие решений.
Но в частных случаях общее решение может быть найдено.
К примеру, если известно одно решение этого уравнения или свободный член $f=0$, то общее решение существует.
Один из методов нахождения всех решения этого уравнения при $f=0$ я приводил на этом форуме

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение27.03.2014, 22:54 
Аватара пользователя


05/11/11
84
У Бухштаба разбираются только классические уравнения Пелля, у Дирихле — частный случай обощённых: $x^2 - my^2 = c^2$, Боревича и Шафаревича простым смертным читать вообще не под силу.

А как показать, что наименьшие решения лежат между первым и вторым решениями оригинального Пелля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение28.03.2014, 10:25 
Заслуженный участник


08/04/08
8343

(Оффтоп)

qx87 в сообщении #841949 писал(а):
Боревича и Шафаревича простым смертным читать вообще не под силу.
Да ладно Вам, нормальная книга, Вы Вейля почитайте :wink:

Я еще книгу вспомнил: Хассе Основы теории чисел - он там с квадратичными полями и уравнениями Пелля тоже долго разбирается.

А вообще там в целом вроде просто: хотим мы решить уравнение $x^2-my^2=A$. Его решение имеет вид $x-y\sqrt{m}=(c+d\sqrt{m})(a+b\sqrt{m})^n, n\in\mathbb{Z}$, где $(c,d)$ - некоторое решение уравнения $x^2-my^2=A$, а $(a,b)$ - фундаментальная единица $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$, т.е. 1-е нетривиальное решение уравнения $x^2-my^2=1$, последнее мы можем получить через разложение $\sqrt{m}$ в цепную дробь. Когда существует частное решение и как его искать - не помню :-(

ex-math в сообщении #840406 писал(а):
В отличие от $c=\pm1$ может быть несколько серий решений.
А когда несколько? Когда $A$ несвободно от квадратов? :roll: Или для свободных тоже может быть?

upd:
qx87 в сообщении #841949 писал(а):
А как показать, что наименьшие решения лежат между первым и вторым решениями оригинального Пелля?
Если "между" строится из отношения $<$ на $\mathbb{R}$, то множество всех единиц $\{\pm\varepsilon^k, k\in\mathbb{Z}\}$ разбивает $\mathbb{R}$ на счетное число интервалов. Пусть есть некоторое решение $\alpha\in \mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ обобщенного уравнения Пелля. Тогда оно попадет в какой-то из этих интервалов. Умножение на $\varepsilon^{\pm 1}$ переводит интервал в соседний интервал, значит каждое решение $\alpha\epsilon^k$ лежит в своем интервале, т.е. найдется $k: \alpha\varepsilon^k\in (1; \varepsilon)$ и найдется $k: \alpha\varepsilon^k\in (\varepsilon; \varepsilon^2)$ и где хотите в общем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение28.03.2014, 12:04 
Заморожен


20/12/10
5623
qx87 в сообщении #840397 писал(а):
P. S. Решение последнего уравнения рассматривается в журнале "Квант" №4 а 2002 год, но в нём где-то содержится ошибка.
И в чём она состоит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение28.03.2014, 19:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1704
Москва
qx87
Sonic86 все правильно расписал: любое решение делением на $\varepsilon$ перегоняете в интервал между наименьшим и наименьшим, умноженным на $\varepsilon$. Стало быть, все решения есть некоторые частные решения из этого интервала, умнроженные на степени $\varepsilon$.

Sonic86
Я тоже не знаю критерия разрешимости при $c\neq\pm1$ и как искать частное решение.
Насчет количества серий. Бесквадратность вроде ни при чем: классический пример $x^2-2y^2=7$ имеет серии $(3,1)\to(13,9)\to\ldots$ и $(5,3)\to(27,19)\to\ldots$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение28.03.2014, 20:26 
Заслуженный участник


27/06/08
3076
Волгоград
qx87 в сообщении #840397 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, книгу, где был бы описан общий метод решения диофантовых уравнений 2-й степени в общем виде:

$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$.

Можно посмотреть здесь. В режиме "step by step".

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение28.03.2014, 22:57 
Аватара пользователя


05/11/11
84
nnosipov в сообщении #842199 писал(а):
И в чём она состоит?


В №3 за 2002 год на стр. 6 они разбирают частный случай — уравнение $x^2 - 2y^2 = 7$ и получают две серии решений: (3; 1) и (5; 3).

А в №4 на стр. 11 они дают общую схему решения уравнения $x^2 - dy^2 = c$. По этой схеме для данного уравнения в обозначениях "Кванта" имеем

$\\
d = 2\\
a = 3, b = 1\\
q = 3 + \sqrt{2}\\
c = 7
$

И далее требуется найти все $z$ и $t$, которые удовлетворяют двум условиям:

$\\
z^2 - 2t^2 = 7\\
1 < z + t\sqrt{d} \leqslant 3 + \sqrt{2}\\
$

Каждая из найденных пар должна являться базой серии решений уравнения.

Так вот, ошибка в том, что вторая серия (5; 3) не удовлетворяет второму условию, т.е. она не будет найдена этим алгоритмом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение29.03.2014, 04:04 
Заморожен


20/12/10
5623
qx87 в сообщении #842470 писал(а):
И далее требуется найти все $z$ и $t$, которые удовлетворяют двум условиям:
$z^2 - 2t^2 = 7$
$1 < z + t\sqrt{d} \leqslant 3 + \sqrt{2}$
На самом деле требуется удовлетворить условие $1 < z + t\sqrt{d} \leqslant 3 + 2\sqrt{2}$, у Вас опечатка. Пара $(z,t)=(5,3)$ ему действительно не удовлетворяет, но ошибки тем не менее нет. Почему --- объясню позже, сейчас нет времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение29.03.2014, 14:20 
Заморожен


20/12/10
5623
Дело в том, что, помимо пары $(z,t)=(3,1)$, неравенству $1 \leqslant z+t\sqrt{2}<3+2\sqrt{2}$ удовлетворяет и пара $(z,t)=(3,-1)$. И других пар $(z,t)$ целых (а не только натуральных!) чисел, удовлетворяющих этому неравенству, нет (докажите это самостоятельно). Таким образом, все решения уравнения $x^2-2y^2=7$ в целых числах даются формулами
$$
x+y\sqrt{2}=\pm (3+\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})^k, \quad
x+y\sqrt{2}=\pm (3-\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})^k
$$
Пара $(5,3)$ находится во второй серии: имеем $5+3\sqrt{2}=(3-\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение29.03.2014, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1704
Москва
nnosipov
А Вы не знаете случайно, при каких $c\neq\pm1$ и $d\neq n^2$ уравнение типа Пелля разрешимо? И как можно найти число серий решений?

-- 29.03.2014, 15:27 --

Я-то привык искать решения в натуральных числах, так как целые решения получаются из них вариациями знаков (решения с одним нулевым неизвестным тривиальны). Поэтому, как и ТС видимо, предпочитаю начинать серию с $(5,3)$. Думаю, изложение "Кванта" несложно адаптировать под этот нюанс.

Для $c=\pm1$ условие $x+y\sqrt d>1$ автоматически означает положительность $x$ и $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение29.03.2014, 15:07 
Заморожен


20/12/10
5623
ex-math, вопрос о числе серий мне представляется сложным в общем случае. Но в некоторых частных случаях есть относительно простой ответ. Так, например, для числа $Q(c)$ серий решений уравнения $|x^2-2y^2|=c$ справедлива формула
$$
Q(c)=\sum_{r|c} \chi(r), \quad
 \chi(r)=\begin{cases}
 +1, & r \equiv 1,\,7 \pmod{8},\\
 -1, & r \equiv 3,\,5 \pmod{8},\\
 \hfill 0, & \text{иначе}.
 \end{cases}
$$
По-видимому, нужно основательно лезть в теорию дивизоров, чтобы понять, как обстоит дело в общем случае.
ex-math в сообщении #842674 писал(а):
Думаю, изложение "Кванта" несложно адаптировать под этот нюанс.
Да, я это несколько лет назад и сделал, и даже предложил в каком-то смысле оптимальный алгоритм нахождения "базовых" решений (тот стандартный подход, что предлагается в "Кванте", можно улучшить). Собственно, с автором статьи в "Кванте" эти вещи довольно подробно обсуждались, но я это так нигде и не опубликовал. Если интересно (может быть, и ТС заинтересуется), могу здесь выложить. Похоже, на русском языке хорошего элементарного изложения этих вещей действительно нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение29.03.2014, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1704
Москва
nnosipov
Спасибо за ответ. А более или менее простых условий разрешимости уравнения (безотносительно числа серий) тоже нет?

Если Вы выложите здесь свои материалы по уравнению Пелля, я с большим интересом почитаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group