2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Понятие производной функции
Сообщение24.03.2014, 18:53 


26/08/11
120
Здравствуйте.
До сих пор относился к производной как к величине, показывающей скорость изменения функции.
Но читая "Теорию вероятностей" Вентцель, столкнулся с понятием плотности распределения и решил переосмыслить что же есть такое производная.
Воспользуемся определением производной через предел $\lim _{\Delta x \to 0} \frac {f(x_0+\Delta x) -f(x_0)}{\Delta x}$
Я думаю, что производная - это "среднее" изменение функции $f$ за единицу величины $x$, начиная с точки $x_0$. Очевидно что $\frac{1}{dx}$ есть ни что иное как, сколько раз помещается $dx$ в $1$. Тогда получается, что начиная, с точки $x_0$ за одну единицу величины $x$, функция $f$ изменится в среднем на $\frac{1}{dx}(f(x_0 + \Delta x) -f(x_0))$. То есть, предположили, что каждый из $\frac{1}{dx}$ отрезков, даёт изменение на $f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)$.
То есть моё понимание, сводится к тому, что это есть величина средняя.
Что не так с моим пониманием сути производной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие производной функции
Сообщение24.03.2014, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Не так то, что вы путаете $\Delta x$ и $dx$. Ну, и еще не перешли к пределу. Производная - это предел средней скорости, т.е. скорость мгновенная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие производной функции
Сообщение25.03.2014, 08:03 


26/08/11
120
А название мгновенное обусловлено тем, что в в следующий миг (спустя отрезок аргумента $x$ стремящийся к $0$) после $x_0$ у нас есть возможность узнать приращение функции, простым домножением производной на приращение аргумента? В отличие от средней скорости без предела, которая не даёт нам такой точности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие производной функции
Сообщение25.03.2014, 08:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Средняя скорость дает даже бОльшую точность для того промежутка, га котором посчитана. Только она для каждого промежутка может быть своя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие производной функции
Сообщение25.03.2014, 08:18 


26/08/11
120
Я просто подразумевал для промежутка стремящегося к нулю.
Вроде бы стало понятнее. Спасибо Вам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие производной функции
Сообщение25.03.2014, 08:24 


29/09/06
4552
Guliashik в сообщении #840349 писал(а):
Очевидно что $\frac{1}{dx}$ есть ни что иное
Не следует рассматривать $\frac{dy}{dx}$ как дробь и тем более как $dy\cdot\frac{1}{dx}$. Это типа такое хитрое цельно обозначение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие производной функции
Сообщение25.03.2014, 08:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Алексей К. в сообщении #840464 писал(а):
Не следует рассматривать $\frac{dy}{dx}$ как дробь
Ну почему же! Можно и как дробь. Отношение дифференциалов. В дифф.ур-ах мы же свободно умножаем/делим на $dx$, переходя от уравнений в производных к уравнениям в диффернциалах. Другой вопрос, что понимать под $dx$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие производной функции
Сообщение25.03.2014, 09:28 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Можно, конечно, и как дробь. Главное — не забывать о специфике действий с бесконечно малыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие производной функции
Сообщение25.03.2014, 12:47 


30/10/12

87
iifat в сообщении #840486 писал(а):
Можно, конечно, и как дробь. Главное — не забывать о специфике действий с бесконечно малыми.

Это не бесконечно малая. Бесконечно малая - это $\Delta x$ под знаком предела. А dх под знаком предела не встречается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие производной функции
Сообщение25.03.2014, 13:34 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
И тем не менее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие производной функции
Сообщение25.03.2014, 23:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Guliashik в сообщении #840349 писал(а):
Я думаю, что производная - это "среднее" изменение функции $f$ за единицу величины $x$, начиная с точки $x_0$.

Ни разу не среднее. Это, наоборот, "мгновенное" -- ровно в этом и есть пхилосопхский скачок.

Guliashik в сообщении #840349 писал(а):
столкнулся с понятием плотности распределения

А это вообще к производной никак не относится. Понятие "плотности" -- оно сугубо посконное, сермяжное и т.д. Плотность вероятности -- это плотность в сугубо сермяжном понимании; это попросту вероятность, приходящаяся на единицу длины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие производной функции
Сообщение26.03.2014, 00:40 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Недопол. Чем таким сермяжным плотность (вещества ли, вероятности) отличается от мгновенной скорости? Производная массы по объёму, производная распределения вероятности по параметру, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие производной функции
Сообщение26.03.2014, 07:19 


26/08/11
120
ewert, конечно не среднее. Это предел среднего:)
А по поводу плотности распределения, не знаю, почему Вы так говорите. Это ведь производная от функции распределения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие производной функции
Сообщение26.03.2014, 22:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Guliashik в сообщении #840801 писал(а):
Это ведь производная от функции распределения.

Это не производная изначально. Это именно плотность. Это именно вероятность, приходящаяся на единицу длины.
Это уж потом, после всех формализаций, она станет производной. Но -- уже потом, сугубо потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие производной функции
Сообщение27.03.2014, 20:15 


30/10/12

87
iifat в сообщении #840557 писал(а):
И тем не менее.

Тем не менее или не тем не менее, dx и dy, дифференциалы, это не бесконечно малые. Это катеты треугольника, образованного касательной прямой и осью координат. Актуальных бесконечно малых (бесконечно малых не под знаком предела) в стандартном анализе нет, иначе меняется весь набор свойств числового множества.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group