2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задачка по теорверу
Сообщение22.03.2014, 19:44 


29/08/11
1759
Здравствуйте, уважаемые участники форума!

Есть такая задачка:

В среднем на $1$ квадратный метр поверхности искусственного спутника попадает за время его работы на орбите $400$ микрометеоритов. Определить вероятность попадания более пяти микрометеоритов на стекло иллюминатора, если его площадь равна $100$ квадратных сантиметров.

У меня тупик в самом начале: удалось выяснить, что эта задача (вроде) на приближенные формулы в схеме Бернулли, но как вычислить вероятность "успеха" одного опыта, или как применить тут какую-либо из приближенных формул в схеме Бернулли (насколько я понимаю - интегральную формулу Муавра-Лапласа)?

Спасибо!

-- 22.03.2014, 21:12 --

Есть такая идея: если на $1$ квадратный метр, то есть на $10000$ квадратных сантиметров в среднем попадает $400$ микрометеоритов, то на $100$ квадратных сантиметров в среднем попадает $\frac{400}{10000} \cdot 100 = 4$ микрометеорита. А вот что делать дальше...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу
Сообщение22.03.2014, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Имеется в виду применить теорему Пуассона. В смысле, что метеоритов вообще летает много, а попадают они редко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу
Сообщение22.03.2014, 21:07 


29/08/11
1759
alisa-lebovski, спасибо за ответ!

Формула Пуассона: $$P_n(m) \approx \frac{(n\cdot p)^m \cdot e^{-n \cdot p}}{m!}$$

И тут сразу вопрос, а как определить $n$ - количество испытаний?

-- 22.03.2014, 22:23 --

Нашел вроде похожий пример:

(Оффтоп)

Изображение


Есть формула: $$P_k(t) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{- \lambda t}$$

Мы нашли, что $\lambda = 4$.

Насколько я понимаю, искомая вероятность будет: $$p = 1 - p_{0}(t) - p_{1}(t) - p_{2}(t) - p_{3}(t) - p_{4}(t) - p_{5}(t)$$

В формуле для $p_{k}(t)$ остается неизвестной $t$, вот как ее найти :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу
Сообщение22.03.2014, 22:12 


29/08/11
1759
Надумал еще один вариант решения:

Вероятность того, что метеорит попадет на поверхность $1$ квадратный сантиметр равна $p=\frac{400}{10000} = \frac{4}{100} = 0.04$.

По условию $n=100$, тогда $a = np = 4$.

Вероятность того, что на $100$ квадратных сантиметров не попадет ни одного метеорита: $P_{100}(0) = \frac{4^0 \cdot e^{-4}}{0!} \approx 0.018$.

Вероятность того, что на $100$ квадратных сантиметров попадет $1$ метеорит: $P_{100}(1) = \frac{4^1 \cdot e^{-4}}{1!} \approx 0.073$.

Вероятность того, что на $100$ квадратных сантиметров попадет $2$ метеорита: $P_{100}(2) = \frac{4^2 \cdot e^{-4}}{2!} \approx 0.146$.

Вероятность того, что на $100$ квадратных сантиметров попадет $3$ метеорита: $P_{100}(3) = \frac{4^3 \cdot e^{-4}}{3!} \approx 0.195$.

Вероятность того, что на $100$ квадратных сантиметров попадет $4$ метеорита: $P_{100}(4) = \frac{4^4 \cdot e^{-4}}{4!} \approx 0.195$.

Вероятность того, что на $100$ квадратных сантиметров попадет $5$ метеоритов: $P_{100}(5) = \frac{4^5 \cdot e^{-4}}{5!} \approx 0.156$.

Тогда, искомая вероятность равна $p=1-P_{100}(0)-P_{100}(1)-P_{100}(2)-P_{100}(3)-P_{100}(4)-P_{100}(5) \approx 0.215$


Может так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу
Сообщение22.03.2014, 22:30 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Limit79 в сообщении #839772 писал(а):
Есть формула: $$P_k(t) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{- \lambda t}$$

Эта формула, да. Имеется в виду задача "Дана интенсивность пуассоновского потока событий, найти вероятность наступления события в указанном числе случаев."
Limit79 в сообщении #839772 писал(а):
В формуле для $p_{k}(t)$ остается неизвестной $t$, вот как ее найти :|

Формулировка нечеткая, подразумевается, что за то же время. То есть за все время пребывания на орбите.

Никакое $n$ Вам, естественно, не дано.
Limit79 в сообщении #839808 писал(а):
По условию $n=100$, тогда $a = np = 4$.

Вероятность того, что на $100$ квадратных сантиметров не попадет ни одного метеорита: $P_{100}(0) = \frac{4^0 \cdot e^{-4}}{0!} \approx 0.018$.

Это дурная идея - в качестве общего числа испытаний брать кв.см, а в качестве успешных испытаний - метеориты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу
Сообщение22.03.2014, 22:34 


29/08/11
1759
Otta, спасибо за ответ!

Otta в сообщении #839814 писал(а):
Эта формула, да.

То есть задача решается по этой формуле?

Otta в сообщении #839814 писал(а):
Формулировка нечеткая, подразумевается, что за то же время. То есть за все время пребывания на орбите.

Но ведь $t$ нужно подставлять в формулу, то есть у $t$ должно быть какое-то значение, вопрос какое :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу
Сообщение22.03.2014, 22:51 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Какое хотите. Год, миллион лет, два дня, попросту единица. Интенсивность потока рассчитывается в зависимости от времени (неявно). Поэтому неважно.

Кстати, чему она равна, интенсивность? По определению?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу
Сообщение22.03.2014, 22:59 


29/08/11
1759
Otta
Интенсивностью $\lambda$ потока событий называется среднее число (математическое ожидание числа) событий, приходящееся на единицу времени.

-- 23.03.2014, 00:00 --

Otta в сообщении #839819 писал(а):
Интенсивность потока рассчитывается в зависимости от времени (неявно). Поэтому неважно.

Не понял :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу
Сообщение22.03.2014, 23:05 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Limit79 в сообщении #839824 писал(а):
Не понял :|

:
Limit79 в сообщении #839824 писал(а):
приходящееся на единицу времени.

Что возьмете в качестве единицы, то и Ваше. И интенсивность, разумеется.
Одно дело - среднее число метеоритов в час, другое - среднее в год.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу
Сообщение22.03.2014, 23:10 


29/08/11
1759
Otta
По условию, есть среднее число метеоритов на некоторую площадь, а вот причем тут время...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу
Сообщение22.03.2014, 23:11 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
А если внимательно прочитать условие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу
Сообщение22.03.2014, 23:17 


29/08/11
1759
Otta
"за время его работы", но конкретного значения же не дано, а оно нужно, чтобы потом подставить его в формулу :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу
Сообщение22.03.2014, 23:23 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Обозначьте буковкой. Возьмите за единицу. Какая разница, если в Вашей воле выбирать единицу времени.
Понимаете, метеориты, когда летят, не знают с какими часами Вы сидите - с делением сто лет или с делением одна минута или с делением один оборот вокруг Земли или еще с каким.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу
Сообщение22.03.2014, 23:27 


29/08/11
1759
Otta
А интенсивность - это $\lambda=400$ метеоритов за время работы спутника?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу
Сообщение22.03.2014, 23:29 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Limit79 в сообщении #839824 писал(а):
Интенсивностью $\lambda$ потока событий называется среднее число (математическое ожидание числа) событий, приходящееся на единицу времени.

Измеряется в событиях/единицу времени.
Единицу времени выбрали?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group