2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вопрос по Линейной алгебре
Сообщение22.06.2007, 16:33 


25/12/06
63
Мне бы хотелось уточнить. Вот самое первое определение из курса линейной алгебры:
Опр. Пусть K - произвольное поле. Векторным (или линейным) пространством над K называется множество V элементов (именуемых векторами), с двумя операциями: сложением элементов множества V и умножением векторов из V на скаляр из K. Далее приводится 8 аксиом

Вопрос: Не совсем четко улавливается связь поля K с векторным пространством, которое как должно быть видно из определения (мне не совсем видно :)) строиться над полем. Из определения видно что мы только умножаем одно на другое, а уже потом далее в курсе вводится понятие базис, координаты вектора в базисе, которые являются элементами поля и т.д.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.06.2007, 16:47 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Пример: совокупность полиномов (заданной степени) с рациональными коэффициентами будет векторным пространством над полем Q. Если же взять над полем R, то получим множество полиномов с вещественными коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.06.2007, 16:55 


25/12/06
63
то есть слово НАД грубо говоря показывает какому полю принадлежат "координаты"

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.06.2007, 17:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Над указывает что можно с векторами делать кроме как складывать. Умножение вектора на фиксированное число можно рассматривать как одноместную операцию. Вот это над и описывает это множество операций.
Теперь ещё раз прочитайте пример PAVа.

Координаты возникают уже потом вместе с понятием базиса, разумеется координаты окажутся элементами основного поля, над которым рассматривается векторное пространство.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.06.2007, 17:34 


25/12/06
63
Понятно, хотя остается чувство неглобальности :) (наверно пройдет :) )

А вот если смотреть далее курс Линейной алгебры.
Есть определение линейной функции \[f:V \to K\]
Далее есть определение двойственного (сопряженного или дуального) пространства к \[V\], которое обозначается \[V^* \]
Далее берем уже пространство двойственное к \[V^* \] и получаем \[V^{**} \], то есть получается, что \[\varepsilon :V \to V^{**} ;\varepsilon (x) = \varepsilon _x 
,\varepsilon _x (f) = f(x),x \in V,f \in V^* ,\varepsilon _x  \in V^{**} \] - является как бы сложной функцией?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.06.2007, 17:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Тогда уж, вернее, "обратной" функцией? :D (на самом деле, конечно - нет). Лучше назвать такую операцию "спариванием" функции и точки, причем и функция, и точка в таком спаривании играют равноправную роль.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.06.2007, 13:07 


25/12/06
63
Не совсем понял
\[x\] - вектор
\[f\] - линейная функция
а вот
\[\varepsilon _x  \] - ? (т.е. \[V^{**}  \] - это множество чего ?)
\[\varepsilon  \] - ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.06.2007, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
$V^{**}:=\left(V^*\right)^*$, т.е. это множество линейных функционалов на векторном пространстве $V^*$ (ведь это тоже векторное пространство над полем $K$). (На самом деле, к $V^*$ относят только непрерывные линейные функционалы, но в курсе линала обычно по умолчанию считается, что все пространства конечномерны, поэтому любой линейный функционал является непрерывным.) Несложно понять, что при фиксированном $x$ формула $\varepsilon_x(f)=f(x)$ задаёт линейный функционал $\varepsilon_x$ на $V^*$ (нужно проверить линейность по $f$), т. е. $\varepsilon_x\in V^{**}$. Вот и получаем, что каждому $x\in V$ мы сопоставили элемент $V^{**}$, т. е. задано отображение $\varepsilon\colon V\to V^{**}$, $\varepsilon(x):=\varepsilon_x$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.06.2007, 13:57 


25/12/06
63
Как я понял \[V^{**}  \] - это множество линейных функционалов, а \[V^*  \] - это множество линейных функций? и все это векторные пространства? И еще немного глупый вопрос чем отличается линейный функционал от линейной функции?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.06.2007, 14:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Городецкий Павел писал(а):
чем отличается линейный функционал от линейной функции?

Только названием, это синонимы.

И $V^{**}$, и $V^*$ есть множества линейных функций, просто эти функции определены на разных векторных пространствах. Функции из $V^{*}$ определены на $V$, в то время как функции из $V^{**}$ определены на $V^*$, т. е., если обозначить $W=V^*$, то $V^{**}=W^*$. Разумеется, это векторные пространства над тем же полем, что и $V$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.06.2007, 15:37 


25/12/06
63
Вот спасибо :)
А вот если рассматривать тензор типа (0,1) - это будут как раз линейные функции на \[V^*  \], т.е. элементы из \[V^{**}  \].
И как уже было сказано между \[V^*  \] и \[V^{**}  \] существует изоморфизм, позволяющий отождествить \[\varphi  \in V^{**} \] с некоторым вектором \[x_\varphi   \in V\].
И это отождествление реализуется в записи линейной формы (Кострикин А.И. т2 Линейная алгебра стр 261)
\[f(x) = (f,x)\].
А это значит при фиксированном \[f\] это есть фиксированная функция на \[V\], а при фиксированном \[x\] - линейная функция на \[V^* \]. То есть тензоры типа (0,1) можно считать векторами - элементами из \[V\].
Последнюю фразу Алексея Ивановича в свете всего вышесказанного в этом посте я не понял. Поясните пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.06.2007, 20:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Последняя фраза просто резюмирует всё вышесказанное:
1) Тензоры типа (0,1) есть элементы $V^{**}$.
2) Элементы $\varphi\in V^{**}$ можно считать (можно отождествить с) векторами $x_{\varphi}\in V$ в силу написанного выше.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.06.2007, 20:23 


25/12/06
63
то есть можно считать в смысле можно отождествить, а то я совсем запутался где векторы, где функции и т.д. :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.06.2007, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Любой тензор $\varphi$ можно записать написанной выше формулой для некоторого однозначно определённого вектора $x_\varphi$. Грубо говоря, "знать" тензор $\varphi$ --- это всё равно, что знать соответствующий вектор $x_\varphi$, поэтому, говоря ещё грубее, можно считать, что $\varphi$ и $x_\varphi$ --- одно и то же (их можно "отождествить"), хотя на самом деле это разные вещи.

Добавлено спустя 3 минуты 3 секунды:

Городецкий Павел писал(а):
а то я совсем запутался где векторы, где функции и т.д.

В алгебре ещё и не такое бывает. Алгебраисты очень любят "отождествлять", называя это изоморфизмом. :D Надо просто привыкнуть.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.06.2007, 12:08 


25/12/06
63
RIP писал(а):
В алгебре ещё и не такое бывает. Алгебраисты очень любят "отождествлять", называя это изоморфизмом. Надо просто привыкнуть.

Будем стараться :)
-----------------------------
Далее вот что вызвало вопрос:
Числа \[T_{i_1 ,...,i_p }^{j_1 ,...,j_q } : = T(e_{i_1 } ,...,e_{i_p } ,e^{j_1 } ,...,e^{j_q } )\] называются координатами тензора.
Рассмотрим тензорное произведение базисных векторов \[e_{i_1 }  \otimes ... \otimes e_{i_p }  \otimes e^{j_1 }  \otimes ... \otimes e^{j_q } \]
\[
 e_{i_1 }  \otimes ... \otimes e_{i_p }  \otimes e^{j_1 }  \otimes ... \otimes e^{j_q } (e_{i'_1 } ,...,e_{i'_p } ,e^{j'_1 } ,...,e^{j'_q } ) =  \delta _{i_1^! }^{i_1 } ...\delta _{i_p^! }^{i_p } \delta _{j_1^! }^{j_1 } ...\delta _{j_q^! }^{j_q } 
\]
(у меня штрихи не поставились строчка поплыла, а вот с ! нормально)
Построим тензор
\[
T_1  = \sum\limits_{i,j} {T_{i_1 ,...,i_p }^{j_1 ,...,j_q } e_{i_1 }  \otimes ... \otimes e_{i_p }  \otimes e^{j_1 }  \otimes ... \otimes e^{j_q } } 
\]
Далее я так понимаю обе части равенства умножили (???) на \[(e_{i_1 } ,...,e_{i_p } ,e^{j_1 } ,...,e^{j_q } )\] и получили
\[T_1 (e_{i_1 } ,...,e_{i_p } ,e^{j_1 } ,...,e^{j_q } ) = T_{i_1 ,...,i_p }^{j_1 ,...,j_q } \]
И осталось одно слагаемое, где все \[\delta =1\] так да?

Правильно ли я понял?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group