2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
Сообщение19.03.2014, 17:37 


14/11/13
244
Добрый день!
Столкнулся с такой задачей:
Требуется найти ортогональную проекцию $y$ и ортогональную составляющую $z$ вектора $x$ на линейное подпространство $L$
Дан вектор $x=(7;4;-1;2)$, а линейное подпространство $L$ задано системой уравнений:
$\begin{cases} 
2x_1+x_2+x_3+3x_4=0\\
3x_1+2x_2+2x_3+x_4=0\\
x_1+2x_2+2x_3-9x_4=0
\end{cases}$
Помогите пожалуйста! С чего надо начать? Я так понял что надо использовать скалярные произведения и Матрицу Грама.
Также попробовал решить систему уравнения, в результате пришлось выражать через свободные переменные и получилось два вектора, но как их тут использовать?!
Векторы такие получились $(0,-1,1,0),(-5, 7, 0,1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
Сообщение19.03.2014, 18:06 
Заслуженный участник


23/07/08
6837
Харьков
В процессе решения системы уравнений Вы как-то её преобразовывали, при этом выяснялось, что некоторые уравнения являются линейными комбинациями остальных (или, как частный случай, сводятся к $0=0$). Такие уравнения Вы выбрасывали. Приведите, пожалуйста, конечный вид системы после этих преобразований.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
Сообщение19.03.2014, 18:37 


14/11/13
244
$\begin{pmatrix}2&  1& 1& 3\\ 3&  2&  2& 1\\ 1&  2&  2& -9&\end{pmatrix}$ --> $\begin{pmatrix}1&  \frac12& \frac12& \frac32\\ 0&  \frac12&  \frac12& -\frac72\\ 0&  \frac32&  \frac32& -\frac{21}{2}&\end{pmatrix}$ --> $\begin{pmatrix}1&  \frac12& \frac12& \frac32\\ 0&  1&  1& -7\\ 0&  0&  0& 0&\end{pmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
Сообщение19.03.2014, 18:58 
Заслуженный участник


23/07/08
6837
Харьков
Хорошо.
Можно ещё первое уравнение вернуть к исходному виду, чтобы дробей не было:
$\begin{bmatrix}2&  1& 1& 3\\ 0&  1&  1& -7\end{bmatrix}$
Напрашиваются ещё кой-какие преобразования, но это уже дело вкуса.

Посмотрите на матрицу системы как на два вектора (записанных в строку): $a_1=\begin{bmatrix}2\\1\\1\\3\end{bmatrix}\quad a_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\\-7\end{bmatrix}$.
А найденные решения обозначим $b_1=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\\0\end{bmatrix}\quad b_2=\begin{bmatrix}-5\\7\\0\\1\end{bmatrix}$

Так как векторы $b_1, b_2$ удовлетворяют системе, то
$\begin{bmatrix}2& 1& 1& 3\\ 0& 1& 1& -7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-5\\-1& 7\\ 1& 0\\ 0& 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 0\\0& 0\end{bmatrix}$
А теперь увидьте в этой записи четыре скалярных произведения:
$(a_1, b_1)=0\quad (a_1, b_2)=0$
$(a_2, b_1)=0\quad (a_2, b_2)=0$

Увидите — напишите «увидел».

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
Сообщение19.03.2014, 19:07 


14/11/13
244
Да, увидел!
Получается
$\begin{bmatrix}2& 1& 1& 3\\ 0& 1& 1& -7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-5\\-1& 7\\ 1& 0\\ 0& 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}&a_1& \\ &a_2&\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1 \\\\ b_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(a_1,b_1)& (a_1,b_2)\\(a_2,b_1) & (a_2,b_2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 0\\0& 0\end{bmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
Сообщение19.03.2014, 19:33 
Заслуженный участник


23/07/08
6837
Харьков
Очень хорошо.

Так вот, что мы получили.
Векторы $b_1$ и $b_2$ составляют базис $L$.
Векторы $a_1$ и $a_2$ составляют базис ортогонального дополнения к $L$.
Все вместе они составляют базис линейного пространства $V$.
(Конечно, надо уметь эти утверждения обосновать, если что, задавайте вопросы).

Найдите коэффициенты разложения данного вектора $x$ по этим векторам:
$x=\alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2+\beta_1 b_1 + \beta_2 b_2$, для чего решите систему
$\begin{bmatrix}2& 0& 0&-5\\ 1& 1&-1& 7\\1& 1& 1& 0\\3& -7& 0& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\beta_1\\\beta_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\4\\-1\\ 2\end{bmatrix}$

И тогда $\beta_1 b_1 + \beta_2 b_2$ будет лежать в $L$, а $\alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2$ будет ей ортогональна (по-моему, оба утверждения очевидны). Иными словами, мы нашли $y$ и $z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
Сообщение19.03.2014, 20:01 


14/11/13
244
Решая эту систему у меня получились довольно странные и неприятные числа, но вроде бы правильные!
$\alpha_1=\frac{241}{101}; \alpha_2=\frac{68}{101}; \beta_1=\frac{-410}{101}; \beta_2=\frac{-45}{101}$
Но тогда если находить $\alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2$ и $\beta_1 b_1 + \beta_2 b_2$ то ответ получается совсем некрасивым... Так и должно быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
Сообщение19.03.2014, 20:15 
Заслуженный участник


23/07/08
6837
Харьков
Вы пока получите эти два вектора (можно вынести $\frac 1{101}$ за вектор, чтоб не было знаменателей).
А я покажу, как другим способом найти, это будет проверка.

Система уравнений, данная в задаче, определяет подпространство $M$, к которому $L$ является ортогональным дополнением. Надо представить $x=y+z$, где $y\in L, z\in M$.

Мы нашли базис $M$: это векторы $a_1$ и $a_2$. Так как $y\in L$, то $(a_1, y)=0, (a_2, y)=0$, поэтому
$(a_1, x)=(a_1, y+z)=(a_1, z)=(a_1, \alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2)=(a_1, a_1)\alpha_1+(a_1, a_2)\alpha_2$
$(a_2, x)=(a_2, y+z)=(a_2, z)=(a_2, \alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2)=(a_2, a_1)\alpha_1+(a_2, a_2)\alpha_2$

Получаем систему
$\begin{bmatrix}(a_1, a_1)&(a_1, a_2)\\(a_2, a_1)&(a_2, a_2)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(a_1, x)\\(a_2, x)\end{bmatrix}$
или
$\begin{bmatrix}15&-19\\-19&51\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}23\\-11\end{bmatrix}$
Откуда $\alpha_1=\frac{241}{101}, \alpha_2=\frac{68}{101}$

Теперь находим $z=\alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2$ и $y=x-z$.
В этом способе мы не решаем систему, данную по условию, а только преобразуем её, чтобы найти базис $M$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
Сообщение19.03.2014, 20:43 


14/11/13
244
$z=\alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2=\frac{241}{101}\begin{bmatrix}2\\1\\1\\3\end{bmatrix}+\frac{68}{101}\begin{bmatrix}0\\1\\1\\-7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{482}{101}\\\\\frac{309}{101}\\\\\frac{309}{101}\\\\\frac{247}{101}\end{bmatrix}=\frac{1}{101}\begin{bmatrix}482\\309\\309\\247\end{bmatrix}$

$y=\beta_1 b_1+\beta_2 b_2=\frac{-410}{101}\begin{bmatrix}0\\-1\\1\\0\end{bmatrix}+\frac{-45}{101}\begin{bmatrix}-5\\7\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{225}{101}\\\\\frac{95}{101}\\\\\frac{-410}{101}\\\\\frac{-45}{101}\end{bmatrix}=\frac{1}{101}\begin{bmatrix}225\\95\\-410\\-45\end{bmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
Сообщение19.03.2014, 20:46 
Заслуженный участник


23/07/08
6837
Харьков
Правильно.

Третий способ.

Мы нашли базис $L$: это векторы $b_1$ и $b_2$. Так как $z\in M$, то $(b_1, z)=0, (b_2, z)=0$, поэтому
$(b_1, x)=(b_1, y+z)=(b_1, y)=(b_1, \beta_1 b_1+\beta_2 b_2)=(b_1, b_1)\beta_1+(b_1, b_2)\beta_2$
$(b_2, x)=(b_2, y+z)=(b_2, y)=(b_2, \beta_1 b_1+\beta_2 b_2)=(b_2, b_1)\beta_1+(b_2, b_2)\beta_2$

Получаем систему
$\begin{bmatrix}(b_1, b_1)&(b_1, b_2)\\(b_2, b_1)&(b_2, b_2)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\beta_1\\\beta_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(b_1, x)\\(b_2, x)\end{bmatrix}$
или
$\begin{bmatrix}2&-7\\-7&75\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\beta_1\\\beta_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5\\-5\end{bmatrix}$
Откуда $\beta_1=-\frac{410}{101}, \beta_2=-\frac{45}{101}$

Теперь находим $y=\beta_1 b_1+\beta_2 b_2$ и $z=x-y$.

Всё ли понятно во втором и третьем способе?

-- Ср мар 19, 2014 20:03:16 --

Пусть $y$ и $z$ найдены. Что нужно проверить, чтобы быть уверенным, что решение правильное.
$\bullet$ $y+z=x$
$\bullet$ $y$ ортогонален каждому вектору-строке исходной системы (стало быть, $y$ принадлежит $L$)
$\bullet$ $(y, z)=0$ (стало быть, $z$ принадлежит $M$ — ортогональному дополнению к $L$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
Сообщение19.03.2014, 21:21 


14/11/13
244
Да, в решении все понятно, огромное спасибо!
Сейчас полез в ответы и удивился увидев хороший не похожий на наш ответ! Оказалось, что на самом деле в условии $x=(7;-4;-1;2)$.
Сколько же лишних расчетов! :facepalm:
Я перерешал немного для нового X и получил хорошие числа $\alpha_1=1; \alpha_2=0; \beta_1=-2;\beta_1=-1$
$z=\alpha_1 a_1+\alpha_2 a_2=\begin{bmatrix}2\\1\\1\\3\end{bmatrix}+0=\begin{bmatrix}2\\1\\1\\3\end{bmatrix}

$y=\beta_1 b_1+\beta_2 b_2=-2\begin{bmatrix}0\\-1\\1\\0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-5\\7\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\-5\\-2\\-1\end{bmatrix}$

Теперь проверим, что решение правильное. $y+z=\begin{bmatrix}5\\-5\\-2\\-1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\1\\1\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\-4\\-1\\2\end{bmatrix}=x$

$(y,z)=5*2-5*1-2*1-1*3=0$

Значит, все правильно!

Огромное спасибо за помощь и столь развернутое и понятное объяснение!

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
Сообщение19.03.2014, 21:25 
Заслуженный участник


23/07/08
6837
Харьков
Рад был помочь. Выберите тот способ из описанных, который Вам больше всего понравился, и примените его к правильным данным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
Сообщение16.10.2015, 16:04 


14/10/15
1
Как вы нашли векторы этой системы? Можете подробно расписать я имею ввиду векторы (0,-1,1,0),(-5, 7, 0,1)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group