2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 теоретическая механика
Сообщение21.06.2007, 21:51 


21/06/07
3
Ровно
Добрый день. Помогите пожалуйста решить задачку. Заданы уравнения движения точки параметрически
x=3sin2a
y=3sina
как бы из этого вывести уравнение траектории движения точки y=f(x) так, чтобы потом можно было нормально взять вторую производную y'' (т.е. ускорение)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.06.2007, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
felix_Igor писал(а):
как бы из этого вывести уравнение траектории движения точки y=f(x) так, чтобы потом можно было нормально взять вторую производную y''
В целом - никак, поскольку в целом эта траектория не является графиком такой функции. Можно выписать такое задание на участках траектории. Лучше возьмите вторую производную параметрически заданной функции, это тоже будет правильная производная. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.06.2007, 22:15 


21/06/07
3
Ровно
так вот как бы и получается, мне принесли методичку в которой описан простой вариант
x=sina
y=cos2a
из этого получается что sin^2a=x^2 (1)
y=cos2a=1-2sin^2a (2) после подстановки (1) в (2) получается y=1-2x^2 уравнение параболы.
А вот в случае который я описал выше так что-то не получается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.06.2007, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Можно довольно просто выразить х через у (нужно только правильно выбрать знак в зависимости от участка траектории) \[
x = 3\sin {\kern 1pt} 2a = 6\sin a\cos a =  \pm 2y\sqrt {1 - \frac{{y^2 }}{9}} 
\], а потом воспользоваться вычислением производной обратной функции. Но проще взять параметрическую производную, как я уже Вам писал.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.06.2007, 22:42 


21/06/07
3
Ровно
Спасибо конечно за помощь, только вот нужно как-то вывести Y=f(X) так как в дальнейшем нужно взять вторую производную от Y. (d^2Y/dX^2).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.06.2007, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Можно ведь и так подсчитать: \[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\frac{{dy}}{{da}}}}{{\frac{{dx}}{{da}}}}\quad ;\quad \frac{{d^2 y}}{{dx^2 }} = \frac{{d(\frac{{dy}}{{dx}})}}{{dx}} = \frac{{\frac{{d(\frac{{dy}}{{dx}})}}{{da}}}}{{\frac{{dx}}{{da}}}}
\] :shock: :roll: :P

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.06.2007, 00:44 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
 !  photon:
felix_Igor, используйте тег math: посмотрите, как здорово это получается у Brukvalub-а - у Вас тоже так получится

И, на мой вкус, эту задачу лучше перенести в математический раздел. Если Вы со мной в этом вопросе согласны, то напишите мне ЛС... пока оставляю тут

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2007, 12:47 


23/01/07
3415
Новосибирск
Brukvalub писал(а):
felix_Igor писал(а):
как бы из этого вывести уравнение траектории движения точки y=f(x) так, чтобы потом можно было нормально взять вторую производную y''
В целом - никак, поскольку в целом эта траектория не является графиком такой функции.

А почему нельзя записать так:
$ y = 3\sin a = 3\sqrt{\frac{1}{2}(1 -\cos 2a) }}} = 3\sqrt{\frac{1}{2}(1 -\sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}}) $?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2007, 13:08 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Потому что, во-первых, например,
$\sin a \ne \sqrt{\frac12(1-\cos{2a})}$

А кроме того, формула Brukvalub'a выше (где х через у) проще.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2007, 14:38 


23/01/07
3415
Новосибирск
Dan_Te писал(а):
Потому что, во-первых, например,
$\sin a \ne \sqrt{\frac12(1-\cos{2a})}$

А кроме того, формула Brukvalub'a выше (где х через у) проще.


Если правильно учитывать знаки на участках траектории, то
$\sin a = \sqrt{\frac12(1-\cos{2a})}$,
Я понимаю, что по предлагаемому проще, но felix_Igor попросил именно так.
Цитата:
Спасибо конечно за помощь, только вот нужно как-то вывести Y=f(X) так как в дальнейшем нужно взять вторую производную от Y. (d^2Y/dX^2).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2007, 00:18 
Заблокирован


16/03/06

932
О каком ускорении речь? В задании нет зависимости координат ни от скорости, ни от ускорения, ни от времени, а тема указана "механика". Вот модератор и намекнул: не пойти ль нам в математики.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.07.2007, 10:36 


01/06/07
22
$$
\sin^2a=\dfrac{1-cos^2a}{2}
$$
$$
x=\frac{3}{2}\big(1-cos^2a\big)
$$
$$
y=3\sin a
$$
$$
\frac{2x}{3}=1-\cos^2a
$$
$$
\frac{y^2}{9}=\sin^2 a
$$
$$
\frac{2x}{3}-\frac{y^2}{9}=0
$$
$$
9\frac{2x}{3}=y^2
$$
$$
y=\sqrt{6x}
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, profrotter, Парджеттер, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group