Основы вариационного исчисления: тележка, лифт

[AlexKaz]

Здравствуйте! Есть парочка зубодробильных для меня задачек:
1) Тележка движется горизонтально с ускорением a. На тележке расположена некая горка (читай $y=y(x)$), с неё скатывается шарик до основания тележки. Требуется найти функционал, выражающий время скатывания (сорри, если немного мутно).
2) Разновидность первой, только теперь мы в вертикальном лифте, который движется с ускорением а вверх или вниз, такая же горка и шарик.
3) Точка движется по вертикальной плоскоски в декартовой СК, причём скорость $v= kx$.

Так вот, функционал без тележки и лифта: $F=\frac{\sqrt{1+y'^2}} {\sqrt{2gy}}$. Теперь "некими чудесными манипуляциями" из школьной физики я получил для 1) $\frac{t^2} {2} =\sqrt {1+y'^2}dx /\sqrt{a^2+g^2}$. Первый мой вариант с $F= \frac{\sqrt{1+y'^2}} {\sqrt{2ax+2gy}}$ неверен. Для 3) $F=\frac{\sqrt{1+y'^2}}{2x}$. И опять не уверен в правильности. А вот №2 меня вообще поверх в нокаут %( Может мне выплывать при помощи дельта х и дельта у? Но так я затрудняюсь выражать абсолютную скорость. Помогите.

[Oleg Zubelevich]

почитайте где-нибудь про кривую скорешего спуска (брахистохрона)

-- Вс мар 16, 2014 19:03:22 --

у Смирнова есть Курс Высш Мат. том 4

[AlexKaz]

Цитата:

F=sqrt(1+y'^2) / sqrt(2gy)

Вот она. И? У меня несколько иные условия.

[Oleg Zubelevich]

посмотрите классическую задачу и действуйте по аналогии

[AlexKaz]

Тогда продолжение к 2). Абсолютная скорость точки выражается из закона сохранения энергии. получим V=sqrt(2(g-a)y). Bот здесь по-моему некая подстава. Преподаватель очень опытный человек, она говорит, что это выражение бессмыслено, необходимо выплывать, найдя полное ускорение. Но в 1) и 2) это ускорение складывается и из тангенциального, и из нормального. Получается какое-то фиаско.

-- 16.03.2014, 21:23 --

Спасибо, у Смирнова есть над чем подумать.

[AlexKaz]

И всё же не получается составить корректное уравнение.

[AlexKaz]

Господа-механики! Подскажите пожалуйста, как выразить скорость точки при заданном ускорении в задачах 1 и 2. Не понимаю...

[svv]

Ускорение тележки или лифта постоянно?

[AlexKaz]

Да, $a=const$

-- 17.03.2014, 19:00 --

Но поле тяжести Земли с $g$ не отменяется...

[svv]

В неинерциальной системе отсчета горки на шарик действует сила тяжести $m\mathbf g$ и сила инерции $-m\mathbf a$ (а также реакция горки $\mathbf N$). Введите «эффективное ускорение свободного падения» $\mathbf G=\mathbf g-\mathbf a$. Оно определяет «эффективное вертикальное направление» $\mathbf e=-\frac{\mathbf G}{|\mathbf G|}$ и «эффективную высоту» $h=\mathbf r\cdot\mathbf e$. После этого задача сводится к задаче о брахистохроне (с косой вертикалью $\mathbf e$ и другим ускорением свободного падения $\mathbf G$, а так — всё то же самое).

[AlexKaz]

Ваше решение сводится к моему $V=sqrt(2(g-a)y)$. А можно интереснее $V=sqrt(2(g+a)y)$ - это летим мы вниз с ускорением $G: g-a>0$ иначе шарик просто повиснет в "одной" точке и никогда не сместится с горки. И этот вариант тоже "epic fail".

[svv]

В случае горизонтальной тележки претензии такие:
1) Разность $\mathbf g$ и $\mathbf a$ должна быть векторной, хотя потом от неё и берется модуль.
(Кстати, Вы же вроде неплохо освоили $\TeX$, старайтесь в нем писать, этого и Правила требуют. Вектор в $\TeX$ обозначается так $\mathbf a$ $\mathbf a$ или так $\vec a$ $\vec a$)
2) У Вас роль высоты играет координата $y$, а должна быть другая координата (назовем её $h$), ось которой направлена противоположно вектору $\mathbf g-\mathbf a$, т.е. в случае тележки — наклонно.
3) И это же только скорость, а где же время как функционал?

[AlexKaz]

Нехитрыми преобразованиями мы найдём абсолютное ускорение шарика: $a_{y(x)}= \frac{g\frac{\Delta x}{\Delta l}+a\frac{\Delta y}{\Delta l}}{{\Delta x}^2-{\Delta y}^2}$. Чтож, буду плыть отсюда.

[svv]

У Вас в случае тележки оси $x$ и $y$ наклонные?

[AlexKaz]

Нет, всё традиционно, в случае, когда тележка движется горизонтально, вектор $\vec g$ совпадает с оУ, $\vec a$ - c оХ.

-- 17.03.2014, 20:57 --

$tdt=\frac{3y^2y'^2dy}{g+ay'}$ Пойду сдавать на следующей, может в этот раз оно.