2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Классическая задача на бифуркации.
Сообщение15.03.2014, 20:28 


10/02/11
6786
Однородный эллиптический контур с полуосями $a,b$ может свободно вращаться вокруг вертикальной оси $AB$, которая совпадает с осью эллипса. Трения подшипниках $A,B$ нет. По контуру без трения скользит маленькое колечко массой $m$. Момент инерции эллипса отнсительно оси вращения равен $J$.
В задаче надо написать эффективный потенциал и исследовать перестройки фазового портрета приведеной системы при изменении параметров задачи. А также нарисовать бифуркационную диаграмму Пуанкаре и проинтерпретировать это все в физических терминах.
Эти вещи легко просчитываются.

После этого интересно рассмотреть задачу в случае когда между колечком и эллипсом имеется линейно вязкое трение




Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение16.03.2014, 14:31 


10/02/11
6786
в этой задаче и "странный аттрактор " имеется

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение03.04.2015, 14:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
А если задача попроще, эллипс просто вращается с постоянной скоростью, бифуркация есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение04.04.2015, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1229
Oleg Zubelevich в сообщении #837423 писал(а):
в этой задаче и "странный аттрактор " имеется

Не получается...

-- 04.04.2015, 00:51 --

Munin в сообщении #999668 писал(а):
А если задача попроще, эллипс просто вращается с постоянной скоростью, бифуркация есть?

Вроде бы нет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение05.04.2015, 16:06 


06/12/14
510
Пусть $a, b$ - длины большой и малой полуосей эллипса; $X,Y,Z$ - оси подвижной СО с началом $O$ в центре эллипса: $X$ направлена вверх от $A$ к $B$, $Y$- вдоль малой полуоси влево , $Z$ -так, что $XYZ$- правая тройка. Выражение для полной энергии $E$, записанное в в этой СО
$$2E=\dot X^2+ \dot Y^2 +\dot Z^2 +J\dot\varphi^2+ 2mg(X+a).$$
Если
$$X=a\cos\psi(t), Y= b\sin\psi(t),$$
то
$$2E=(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)\dot \psi^2 +(J+a^2\cos^2\psi)\dot\varphi^2+ 2mga(1+\cos\psi).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение05.04.2015, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6532
Hogtown
unistudent
Вы правильно выписали кинетическую и потенциальную энергии, поэтому Лагранжиан
$$L =\frac{1}{2}\Bigl[m(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)\dot \psi^2 +(J+ma^2\cos^2\psi)\dot\varphi^2- 2mgb(1+\sin\psi)\Bigr].$$
Гамильтониан (полную энергию Вы нашли). Теперь поскольку $L$ не зависит от $\varphi$, то $\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}$ сохраняется. Это и будет угловой момент
$$M=(J+ma^2\cos^2\psi)\dot{\varphi}.$$
Теперь можете исключать $\dot{\varphi}$, подставлять в $E$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение05.04.2015, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1229
Гм, а масса там нигде не потеряна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение05.04.2015, 16:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6532
Hogtown
Geen в сообщении #1000559 писал(а):
Гм, а масса там нигде не потеряна?

Да, конечно, аж в 2х местах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение05.04.2015, 16:59 


06/12/14
510
А если так?
$$2E=(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)\dot \psi^2 +\frac{M^2}{J+a^2\cos^2\psi}+ 2ga(1+\cos\psi).$$

-- 05.04.2015, 17:01 --

Если положить массу единице, то наверно ничего существенно не измениться

-- 05.04.2015, 17:02 --

И в этом случае

$$\frac{\partial E}{\partial \psi}=
\left((a^2 - b^2)\dot \psi^2\cos\psi 
+\frac{M^2\cos\psi}{(J+a^2\cos^2\psi)^2}
- ga\right)\sin\psi.$$
$$\frac{\partial E}{\partial \dot\psi}=(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)\dot \psi $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение05.04.2015, 17:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1229
Red_Herring в сообщении #1000560 писал(а):
Geen в сообщении #1000559 писал(а):
Гм, а масса там нигде не потеряна?

Да, конечно, аж в 2х местах.

Я не зануда :-) но я бы на неё всё поделил: $J=md^2$, а потом и на $d$ ещё ($d=g\tau^2$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение05.04.2015, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6532
Hogtown
Тут еще ошибка: если $a\cos \psi$—расстояние до оси, то в энергии д.б. $b\sin \psi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение05.04.2015, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1229
Red_Herring в сообщении #1000563 писал(а):
Тут еще ошибка: если $a\cos \psi$—расстояние до оси, то в энергии д.б. $b\sin \psi$

Да там вначале ось X по вертикали направлена, но в моменте инерции уже по горизонтали :-)

Опять же, дело вкуса, но я бы угол отсчитывал от направления вниз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение05.04.2015, 17:25 


06/12/14
510
$$2E=m(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)\dot \psi^2 +(J+mb^2\sin^2\psi)\dot\varphi^2+ 2mga(1+\cos\psi).$$

-- 05.04.2015, 17:27 --

$$L=\frac{1}{2}\left[m(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)\dot \psi^2 +(J+mb^2\sin^2\psi)\dot\varphi^2- 2mga(1+\cos\psi)\right].$$


$$2E=m(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)\dot \psi^2 +\frac{M^2}{(J+mb^2\sin^2\psi)}+ 2mga(1+\cos\psi).$$
Так вроде правильно

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение05.04.2015, 17:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6532
Hogtown
\begin{tikzpicture}[scale=.75]
\draw[thick] (0,0) ellipse (3 and 4);
\draw[dotted] (0,-5)--(0,5);
\draw[<->] (0,0)--(0,4);

\draw[<->] (0,0)--(3,0);
\node at (1.5,0) {\colorbox{gray!10}{$b$}};
\node at (0,2) {\rotatebox{90}{\colorbox{gray!10}{$a$}}};

\fill (2.6,-2) circle (.1);
\draw[blue, ->] (2.6,-2)--(2.6,-3);
\end{tikzpicture}


Правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение05.04.2015, 17:51 


06/12/14
510
Тогда
$$\frac{\partial E}{\partial \psi}=
\left[\left(a^2 \varepsilon^2\dot \psi^2 +\frac{M^2b^2}{(J+mb^2\sin^2\psi)^2}\right)\cos\psi- ga\right]m\sin\psi.$$
$$\frac{\partial E}{\partial \dot\psi}=m(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)\dot \psi.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group