2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 15:00 


10/02/11
6786
ничего этого не нужно, вообще ничего ,кроме приведеной потенциальной энергии не надо, чтобы понять где какие положения равновесия и нарисовать картинки, это когда трения нет. А в случае трения, тоже легко нарисовать фазовый портрет , просто из общих соображений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 15:12 


06/12/14
510
Oleg Zubelevich в сообщении #1001180 писал(а):
ничего этого не нужно, вообще ничего ,кроме приведеной потенциальной энергии не надо, чтобы понять где какие положения равновесия и нарисовать картинки, это когда трения нет. А в случае трения, тоже легко нарисовать фазовый портрет , просто из общих соображений.

Нарисовать фазовый портрет из общих соображений - это как, от руки, ничего не решая?

-- 07.04.2015, 15:16 --

А что здесь будет приведенной потенциальной энергией? Это как то связано с эффективным потенциалом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 15:35 


10/02/11
6786
приведеный потенциал и эффективная потенциальная энергия это одно и тоже

-- Вт апр 07, 2015 15:37:05 --

unistudent в сообщении #1001183 писал(а):
Нарисовать фазовый портрет из общих соображений - это как, от руки, ничего не решая?

да, сначала в случае, когда трения нет нарисовать график эффективной потенциальной энергии, под ним нарисовать фазовый портрет. потом нарисовать фазовый портрет для случая трения

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1264
unistudent в сообщении #1001171 писал(а):
Совпадение лишь для случая $a=b$, и то, с точностью до знака перед $ga$.

Ну да (если Вы про ссылку) - для того примера я взял круглое кольцо с массой грузика и угол отсчитываю от направления вниз :-)

P.S. по той ссылке добавил ещё один параметр ("частоту вращения")

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 16:07 


06/12/14
510
Geen в сообщении #1001202 писал(а):
Ну да (если Вы про ссылку) - для того примера я взял круглое кольцо с массой грузика и угол отсчитываю от направления вниз :-)

Тогда понятно. Эллипс, однако, многое должен поменять, или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 16:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1264
unistudent в сообщении #1001204 писал(а):
Geen в сообщении #1001202 писал(а):
Ну да (если Вы про ссылку) - для того примера я взял круглое кольцо с массой грузика и угол отсчитываю от направления вниз :-)

Тогда понятно. Эллипс, однако, многое должен поменять, или нет?

Это вопрос анализа. ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 17:04 


06/12/14
510
Приведенной потенциальной энергией назовем ту часть полной энергии
$$E=\frac{1}{2}\left[m(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)\dot \psi^2 +\frac{M^2}{(J+mb^2\sin^2\psi)}+ 2mga(1+\cos\psi)\right],$$
которая не содержит скоростей, т.е.
$$U(\psi)=\frac{1}{2}\frac{M^2}{(J+mb^2\sin^2\psi)}+ mga(1+\cos\psi).$$
Точками равновесия должны быть точки экстремумов ф-ии $U(\psi)$, т.е. такие, что
$$\frac{dU}{d\psi}=-\left(\frac{M^2b^2\cos\psi}{(J+mb^2\sin^2\psi)^2}+ga\right)m\sin\psi=0.$$
С этим ур-ем я уже сталкивался. Тут либо два корня, либо четыре. Оба случая описаны выше. Графиком $U(\psi)$ в случае четырех корней будет гладкая линия, симметричная относительно точки $\psi=\pi$, с максимумами в точках $\psi=0,\pi$ и минимумами в точках $\psi=\pi \pm \Delta$, где $|\Delta|<\pi/2$. В случае 2х корней, в нуле будет минимум, а в $\pi$ максимум. Фазовыми траекториями будут семейства замкнутых линий
Изображение

-- 07.04.2015, 17:09 --

С трением должно быть немного сложнее. Точками равновесия, наверно, останутся те-же точки, но траекториями будут спирали.

-- 07.04.2015, 17:12 --

А что происходит когда имеет место бифуркация? Появляется "странный аттрактор"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 18:39 


06/12/14
510
Более подробные фазовые портреты.
Изображение
Сверху случай без трения. Показаны траектории при разных значениях параметров. Снизу показаны по одной фазовой траектории для случаев 2 и 4 корня. Если корня два, то движение происходит по спирали с конечной остановкой в $\psi=\pi$. Если корня четыре, то конечных станций две, и в какой именно произойдет остановка, зависит от начальных условий. В этом случае, наверно, можно говорить о двух областях влияния. В какую из областей попадает траектория, там и остановка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 19:03 


10/02/11
6786
на нижних картинках надо нарисовать правильно сепаратрисы

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1264
unistudent в сообщении #1001261 писал(а):
Сверху случай без трения.

Не вполне верно. Во-первых разные расстояния должны быть. Во-вторых, разной высоты потенциальный барьер....

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 19:21 


06/12/14
510
Oleg Zubelevich в сообщении #1001268 писал(а):
на нижних картинках надо нарисовать правильно сепаратрисы

Это можно сделать из общих соображений?

-- 07.04.2015, 19:22 --

Geen в сообщении #1001269 писал(а):
Не вполне верно. Во-первых разные расстояния должны быть. Во-вторых, разной высоты потенциальный барьер....

Какие расстояния, от чего до чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1264
unistudent в сообщении #1001283 писал(а):
Какие расстояния, от чего до чего?

У Вас фокусы стоят на $\pi/2$ - это неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 20:33 


06/12/14
510
Geen в сообщении #1001341 писал(а):
unistudent в сообщении #1001283 писал(а):
Какие расстояния, от чего до чего?

У Вас фокусы стоят на $\pi/2$ - это неверно.

Я же написал, что $\psi=\pi\pm\Delta, |\Delta|<\pi/2$. Но на картинке, действительно, как будто в $\pi/2$. Ну а вообще, смахивает на то, что выдает ваша программа :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1264
unistudent в сообщении #1001346 писал(а):
Но на картинке, действительно, как будто в $\pi/2$.

Дело не столько в этом, а в том, что Вы потеряли класс траекторий, которые охватывают оба фокуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 20:41 


06/12/14
510
Geen в сообщении #1001348 писал(а):
Вы потеряли класс траекторий, которые охватывают оба фокуса.

У меня два сообщения с портретами. И ни на одном из них этих траекторий нет?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group