2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 20:57 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Дана квадратная матрица $n\times n$. Известно, для любой строки, что сумма квадратов элементов этой строки равна единице. Докажите, что определитель этой матрицы меньше либо равен 1.
Хотел через ММИ, доказал для матрицы $2\times 2$, однако, при шаге индукции понял, что она вообще не подходит, так как при разложении определителя $(n+1)\times (n+1)$ получится $n+1$ определителей порядка $n$, однако они не будут уже обладать нашим свойством, то есть будут какими-то произвольными. Подскажите, как тут быть

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 21:07 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Возьмём $n$-мерное евклидово пространство…

(Так можно?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 21:08 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Вспомните, что определитель матрицы — объем параллелепипеда, построенного на векторах, соответствующих столбцам (или строкам) матрицы. Что геометрически означает, что сумма квадратов равна единице? Каким может быть объем параллелепипеда с этим свойством?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 21:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
MestnyBomzh в сообщении #836547 писал(а):
Докажите, что определитель этой матрицы меньше либо равен 1.
Кстати, по-моему, даже сильнее можно: что модуль определителя меньше либо равен 1.

-- Пт мар 14, 2014 00:10:34 --

svv раскрыл все карты! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 21:36 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Вот блин...

MestnyBomzh, если Вы не догадаетесь, Вы этим меня спасёте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 21:38 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Если подумать, мой комментарий, наоборот, слишком туманный. Надо просто взять среднее арифметическое от них!

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 21:45 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
То есть, определитель $n$ мерной матрицы-объем $n$ мерного параллелепипеда? Насколько я знаю, объем равен произведению сторон, его образующих (не знаю как сказать правильно, но смысл, я думаю, я донес). Наш параллелепипед натянут на вектора, то есть длины его сторон-это есть $\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_n)^2}$, а у нас это единица...Получается, что все образующие стороны равны 1, и объем равен единице. Где-то здесь ошибка, но где?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 21:48 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
MestnyBomzh в сообщении #836590 писал(а):
Насколько я знаю, объем равен произведению сторон, его образующих (не знаю как сказать правильно, но смысл, я думаю, я донес).
Он же не прямоугольный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 21:53 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Я так понимаю, тут нужно будет как-то интеграл использовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 21:57 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
MestnyBomzh, :-) да зачем интеграл!? Просто погугите в инете как находится объём наклонного параллелепипеда. Простая школьная формула.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 22:11 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Наклонного $n$-мерного — школьная? Хотя по индукции, конечно, школьная…

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 22:18 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Перпендикуляр, умноженный на проекцию фигуры на $n-1$ мерную плоскость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 22:35 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Или просто высота, умноженная на основание. Ограничение на длину высоты сразу видно. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 22:39 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Ага, ну вообщем объем $n$ мерного параллелепипеда со сторонами, равными, $1$ равняется $h\cdot h\cdot h...h$ и так $n-1$ раз. Теперь можно рассмотреть параллелограмм со сторонами $1$ и той же высотой $h$. Она является катетом, а значит она меньше гипотенузы, равной единице. Значит $h < 1$, и произведение всех $h$ тоже $<1$. Ну и $h$ может равняться $1$, если она совпадает с гипотенузой(случай, когда параллелепипед прямоуголен

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 22:44 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Ну, только Вы же учитываете, что «аши» здесь в общем случае разные?
Например, в основании трехмерного параллелепипеда лежит почти квадрат, его высота почти $1$. А вот третье ребро и близко не перпендикулярно основанию, здесь высота заметно меньше $1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group