теорема Геделя.

[nikvic]

patzer2097 в сообщении #835648 писал(а):

вроде бы обычно говорят
просто о теориях, содержащих арифметику Пеано, нет?

Сейчас уже трудно сказать, о чём говорят обычно.
Популярная "машина" Тьюринга появилась лет на 5 позже гёделевской теоремы, а вскоре Клини представил доказательство, явно опирающееся на вычислимость - сведя её к неразрешимости проблемы остановки алгоритма.

[jurij]

Munin в сообщении #835316 писал(а):

Про постулаты в физике вы пишете чушь. Лучше перестаньте, не позорьтесь.

А Вы не читайте, а еще лучше просветите как правильно.

Мой вопрос о теореме Геделя свелся, по сути, к вопросу: аксиома в математике и постулат в физике – это сходные, а может тождественные понятия?

Как мене объяснили знающие люди эти понятия, существенно, разные. Эту разницу, на мой взгляд, можно показать в двух формулировках.

Аксиома математической теории – это утверждение, которое не нуждается в доказательстве. Сама формулировка аксиомы образует факт истинности этого утверждения. Странное обоснование истинности, но в отсутствие какого либо основания (опыт в физике) наверное другого не придумать. Правда, куда будут дрейфовать (без такого основания) математические теории одному Богу известно.

Постулат физической теории – это утверждение, справедливость которого в рамках данной теории не может быть ни доказано, ни опровергнуто. Утверждение достаточно очевидное если учесть, что постулат является основой теории.

Нетрудно заметить, что ни то, ни другое определение, не являются определениями аксиомы и постулата. Максимум, что они декларируют, то их свойства. Если считать иначе, то можно создавать теории без предмета, который они описывают. В физике таких теорий нет. А в математике?

[Munin]

jurij в сообщении #836077 писал(а):

А Вы не читайте, а еще лучше просветите как правильно.

Постулат - это положение, принимаемое без доказательств внутри теории, но вне теории, в физике вообще, обоснованное экспериментально.

Никакого "субъективного начала" в постулате нет. Для примера, молекулярно-кинетическая природа тепла - надёжно установленный факт.

И наконец, сам постулат ничего не объясняет. Объясняет что-то теория, основанная на постулатах, но объясняет она другие положения, которые с постулатом не совпадают, - они выводятся в этой теории как теоремы и вычисления.

jurij в сообщении #836077 писал(а):

Если считать иначе, то можно создавать теории без предмета, который они описывают. В физике таких теорий нет. А в математике?

В математике такие теории возможны (например, любая противоречивая теория), но неинтересны.

[whitefox]

Munin в сообщении #836096 писал(а):

Постулат - это положение, принимаемое без доказательств внутри теории, но вне теории, в физике вообще, обоснованное экспериментально.

А как быть с 5-ым постулатом Евклида? Он-то экспериментально не обоснован.

[Munin]

Слово "постулат" применительно к постулатам Евклида применяется по традиции. По современной терминологии, это аксиомы, а не постулаты. Кроме того, и сам Евклид их постулатами не называл :-) потому что слово латинское, а он был грек.

Это практически единственное исключение, которое нужно запомнить.

[whitefox]

Munin в сообщении #836282 писал(а):

Кроме того, и сам Евклид их постулатами не называл потому что слово латинское, а он был грек.

Разумеется, Евклид для своих постулатов использовал греческое слово "αιτηματα" которое традиционно переводят как постулат.

[Someone]

whitefox в сообщении #836271 писал(а):

А как быть с 5-ым постулатом Евклида? Он-то экспериментально не обоснован.

Вообще-то, геометрия уже давно не физика.
И встречный вопрос: а какие аксиомы геометрии "экспериментально обоснованы"?

[whitefox]

Someone
Если Вы обратили внимание, то ТС относит постулаты исключительно к физике, а математике оставляет только аксиомы. Я всего лишь указал на то, что и в математике термин "постулат" иногда применяется (хотя бы в силу традиции при обсуждении постулатов Евклида).

А что касательно Вашего вопроса, то ответ на него есть у ТС:

jurij в сообщении #836077 писал(а):

Аксиома математической теории – это утверждение, которое не нуждается в доказательстве.

И уж тем более в "экспериментальном обосновании".

[Someone]

whitefox в сообщении #836312 писал(а):

Если Вы обратили внимание, то ТС относит постулаты исключительно к физике, а математике оставляет только аксиомы.

Мне начхать, что и куда ТС "относит", пусть он хоть обносится весь. В настоящее время "постулат" и "аксиома" — синонимы, поскольку оба обозначают высказывание теории, принимаемое истинным без доказательства. Что в математике, что в физике. Разница только в том, что в физике выбор аксиом ограничен необходимостью согласовывать теорию с данными опытов и наблюдений, а в математике такой необходимости нет.

whitefox в сообщении #836312 писал(а):

А что касательно Вашего вопроса, то ответ на него есть у ТС:

jurij в сообщении #836077 писал(а):

Аксиома математической теории – это утверждение, которое не нуждается в доказательстве.

И уж тем более в "экспериментальном обосновании".

Отказываетесь от своего заявления?

whitefox в сообщении #836271 писал(а):

А как быть с 5-ым постулатом Евклида? Он-то экспериментально не обоснован.

[Neos]

jurij в сообщении #834943 писал(а):

«для любой непротиворечивой системы аксиом существует утверждение, которое в рамках принятой аксиоматической системы не может быть ни доказано, ни опровергнуто»…

Вопрос. Кто-то может привести пример такого "утверждения" в какой либо области ? В арифметике Пеано, или геометрии Евклида. Не будет ли это утверждение эквивалентно одной из аксиом, лежащих в основании теории ?

-- 13.03.2014, 14:46 --

jurij в сообщении #835261 писал(а):

То есть, математическую теорию создать очень просто. Для этого достаточно сформулировать произвольный набор аксиом, и проследить, чтобы они не противоречили друг другу.

На самом деле система аксиом создается обычно после того, как появляется математический объект, и его приложения.
Аксиоматизация наводит порядок в этой теории. Т.е. с точностью до наоборот. По крайней мере так сложилось исторически.

[whitefox]

Someone в сообщении #836331 писал(а):

Отказываетесь от своего заявления?

whitefox в сообщении #836271 писал(а):

А как быть с 5-ым постулатом Евклида? Он-то экспериментально не обоснован.

А Вы считаете, что 5-й постулат Евклида имеет экспериментальное обоснование?

[Someone]

whitefox в сообщении #836365 писал(а):

А Вы считаете, что 5-й постулат Евклида имеет экспериментальное обоснование?

А причём здесь я? Я таких утверждений не делал. Это же цитата из Вашего сообщения, а не из моего. Я просто знаю, что ни одна математическая аксиома никаких экспериментальных обоснований не имеет. По совершенно тривиальной причине: математика исследует исключительно логические конструкции, "физические" эксперименты с которыми, мягко выражаясь, затруднительны.

[Nemiroff]

Neos в сообщении #836335 писал(а):

В арифметике Пеано

Последовательности Гудстейна вам в помощь.

Neos в сообщении #836335 писал(а):

или геометрии Евклида

Не-а.

Neos в сообщении #836335 писал(а):

Не будет ли это утверждение эквивалентно одной из аксиом, лежащих в основании теории ?

Аксиому как раз очень просто доказать.

[Munin]

whitefox в сообщении #836312 писал(а):

Я всего лишь указал на то, что и в математике термин "постулат" иногда применяется (хотя бы в силу традиции при обсуждении постулатов Евклида).

Нет, никогда не применяется. Кроме словосочетания "постулаты Евклида", которое, как все хорошо понимают, есть alias для "аксиомы Евклида".

[jurij]

Munin в сообщении #836096 писал(а):

Постулат - это положение, принимаемое без доказательств внутри теории, но вне теории, в физике вообще, обоснованное экспериментально.

Напомните, какой постулат доказан экспериментально. Если постулат о молекулярно-кинетической природе тепла, то его упоминать не стоит. В противном случае я могу подумать, что представлением о молекулах у Вас такое же как и у школьника 6 класса.

Munin в сообщении #836096 писал(а):

Никакого "субъективного начала" в постулате нет. Для примера, молекулярно-кинетическая природа тепла - надёжно установленный факт.

Тогда кто и главное зачем, формулирует постулаты. Кстати, когда-то считалось, что теплород - это объективная сущность как, например, сейчас считается таковой (объективной сущностью) пространство-время.

Munin в сообщении #836096 писал(а):

В математике такие теории возможны (например, любая противоречивая теория), но неинтересны.

Теория без предмета исследования?

А что такое теория? Общие потрынделки из энциклопедии или википедии приводить не стоит, они без информативны. Я думаю, что с этим вопросом очень тесно связан вопрос что такое аксиома (постулат) и их роль (место) в теории. Кстати, а как соотносятся постулат (аксиома) и предмет исследования теории?