2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определение квантора?
Сообщение09.03.2014, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1347
Позавчера преподаватель по матлогике сказал, что у квантора (всеобщонсти и существования) есть определение. Я всегда считал (вычитав это предварительно в конспектах лекций Манина) что квантор — всего лишь символ алфавита формального языка метатеории, с помощью которого особым образом можно формировать строки, называемые «формулами» или же «wff» (well-fomed formula), однако перподаватель мне сказал, что я неправ и у квантора действительно есть определение. В чём же истина?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение квантора?
Сообщение09.03.2014, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
Ну так и спросите у преподавателя, что он имел в виду.
Квантором еще называют любой оператор, сопоставляющий предикатам истинностные значения. Например, "существует единственный $x$", "существует бесконечно много $x$".

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение квантора?
Сообщение09.03.2014, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20780
Уфа
kp9r4d в сообщении #834727 писал(а):
однако перподаватель мне сказал, что я неправ и у квантора действительно есть определение
Если он говорил про отдельный символ, то придётся признать, что он не прав. Но он мог спрашивать о, например, истинности формулы $\forall x\,P(x)$ в какой-то интерпретации. Сам символ $\forall$ вне формулы (которую уже можно или нельзя вывести) и интерпретаций (которые дадут формуле истинностное значение) никакого особого смысла не имеет, как и символ $\neg$ или скобка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение квантора?
Сообщение09.03.2014, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1347
arseniiv Xaositect
Cпасибо, примерно понятно; спор произошёл на алгебре, поэтому преподаватель отказался что-либо пояснять ссылаясь на то, что дескать «на логике узнаете» и «почитайте в методичке», а методички у меня нету, поэтому вот так вот. Всё-таки постараюсь его ещё раз найти и узнать что он имел в виду.
Xaositect в сообщении #834743 писал(а):
Квантором еще называют любой оператор, сопоставляющий предикатам истинностные значения. Например, "существует единственный $x$", "существует бесконечно много $x$".

arseniiv в сообщении #834747 писал(а):
Но он мог спрашивать о, например, истинности формулы $\forall x\,P(x)$ в какой-то интерпретации.


Я не очень понял вот это, можете объяснить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение квантора?
Сообщение09.03.2014, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
В матлогике рассматриваются два уровня: синтаксический (доказательства) и семантический (модели). На синтаксическом уровне определяются и рассматриваются понятия терма, формулы и доказательства. На семантическом уровне вводится интерпретация термов и формул, истинность формул, модель теории, и эти понятия связываются с синтаксическими.

Так вот, формуле логики первого порядка с свободными переменными $x_1,\dots,x_k$ на семантическом уровне соответствует $k$-арный предикат (или отношение) - функция, которая по $k$ аргументам определяет, истинна или ложна эта формула.
Соответственно, когда на синтаксическом уровне мы переходим от формулы $P(x)$ к, например, $\forall x P(x)$, на семантическом уровне мы получаем отображение, которое каждому предикату от одной переменной сопоставляет одно истинностное значение (истинное, если $P(X)$ истинна для всех $X$ из области изменения перенной $x$, и ложное иначе). Вот такие отображения и называются иногда кванторами, наряду с их синтаксическими параллелями - символами $\forall$, $\exists$ и т.п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение квантора?
Сообщение09.03.2014, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20780
Уфа
Спасибо большое Xaositect.

Формулы теории обычно получают истинностное значение индуктивно: если формула такого-то вида (например, $A\vee B$), вычислить такую штуку от значений подформул, если формула этакого-то вида, вычислить другую штуку — и кванторные формулы тоже, конечно, имеют свои правила вычисления значения — вот о них-то и могла быть речь. В частности, формула $\forall x\,A$ имеет значение true тогда и только тогда, когда для любого элемента модели формула $A$ имеет значение true (это должно быть записано аккуратнее).

Это просто другая сторона описания Xaositect: интерпретация формулы $A$ как отношения с последующим применением отображения-квантора равносильна синтаксическому навешиванию квантора с интерпретацией полученной $\forall x\,A$. Можно определить значение кванторной формулы через «семантическое» отображение, а можно наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение квантора?
Сообщение09.03.2014, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1347
Понял, спасибо arseniiv, Xaositect!

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение квантора?
Сообщение10.03.2014, 00:07 
Заслуженный участник


14/03/10
867
а разве $\forall x\in S\,\, P(x)$ не определяется как $\bigwedge\limits_{x\in S} P(x)$? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение квантора?
Сообщение10.03.2014, 00:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
Ну это зависит от того, определили ли мы до этого $\bigwedge\limits_{x\in S}$ для произвольных $S$.

Ну и к тому же бывают неограниченные кванторы $\forall x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение квантора?
Сообщение10.03.2014, 00:41 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Xaositect в сообщении #834800 писал(а):
Ну это зависит от того, определили ли мы до этого $\bigwedge\limits_{x\in S}$ для произвольных $S$.
ага, понятно. получается, об "определении" квантора следует говорить, только если мы говорим об истинности некоторой формулы. а сам по себе квантор - просто символ :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение квантора?
Сообщение10.03.2014, 02:51 
Заслуженный участник


09/09/10
3729

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #834743 писал(а):
Квантором еще называют любой оператор, сопоставляющий предикатам истинностные значения.

"Оператор, сопоставляющий $n$-арным предикатам $n-1$-арные, $n\geqslant1$?"

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение квантора?
Сообщение10.03.2014, 03:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822

(Оффтоп)

Любой оператор из $k$-арных предикатов в истинностные значения обощается до семейства операторов из $n+k$-арных предикатов в $n$-арные. Насколько я понимаю, только такие штуки и будут кванторами. Так что мне легче было сказать так, как я сказал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение квантора?
Сообщение10.03.2014, 09:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Есть симпатичная точка зрения, согласно которой квантор - оператор, отображающий функцию нескольких переменных в функцию с сокращённым списком переменных. Примеры - определённый интеграл, взятие максимума по некоторым переменным.
Хотя сам термин "укрепился" только в логике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение квантора?
Сообщение10.03.2014, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20780
Уфа
Для такого случая лучше какой-нибудь «связыватель». :roll:

-- Пн мар 10, 2014 19:26:41 --

Или «понижающий оператор». Можно для функций использовать тензорные обозначения и сворачивать по индексам: $h_{xtz} = g_{tx} {\int}^y f_{xyz}$. Брр.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group