2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функциональное уравнение
Сообщение07.03.2014, 14:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1260
Найти все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, такие, что $\forall x,y \in \mathbb{R} : f(x+y^2) = f(x) + f^2 (y)$
Довольно несложными рассуждениями, можно показать, что для любого $q \in \mathbb{Q}$ существуют лишь две функции:
$f_1(q) = q$
$f_2(q) = 0$

(Оффтоп)

Перепишем условия так $fx+yy = fx + fyfy$, при $x=0$ сделаем следствия:\\
$$f0 = f0 + f^2 0 \to f^2 0 = 0 \to f0 = 0$$
$$fxx =fxfx \to fx+yy = fx + fyy$$
$$f(x+z) = fx + fz, z \geqslant 0$$
$$0=f(-x+x)=f(-x) + f(x) \to -f(-x)=f(x)$$
Из последнего следствия видно, что $f$ однозначно определяется лишь положительной полуосью.
$$f1 = f^2 1 \to f1 = 0 \vee f1 = 1$$
Очевидно также, что $n \in \mathbb{N}, fnx = nfx$ и в силу доказанной нечётности $fnx = nfx$ даже когда $n \in \mathbb{Z}$.\\
Докажем ещё, что $f(\frac{1}{n} x) = \frac{1}{n}f(x)$ когда $n \in \mathbb{Z}$, это следует из равенств
$$f(x) = f(\frac{n}{n}x) = nf(\frac{1}{n}x)$$
$$\frac{1}{n}f(x) = f(\frac{1}{n}x)$$
Из предыдущих двух утверждений, следует что $f(q) = qf(1)$ когда $q \in \mathbb{Q}$.


как обобщить результат на вещественные числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение07.03.2014, 14:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13120
с Территории
По непрерывности. А если её нет, то увы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение07.03.2014, 14:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1260
Понятно, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение07.03.2014, 17:59 
Аватара пользователя


26/05/12
477
приходит весна?
kp9r4d, что-то вы совсем замудрили. Тут вообще к целым обращаться не надо. Положите игрек нулю и посмотрите, чему равна функция в нуле. Потом положите икс нулю и найдите саму эту функцию (получатся уже найденные вами решения, только для любых действительных чисел).

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение07.03.2014, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13120
с Территории
kp9r4d ровно, буквально, именно это и делает. Читайте букв.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение13.07.2015, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1260
ИСН
Для читателей в будущем - таки не увы. Это отображение сохраняет квадрат и сложение, а значит монотонно, а значит решения-таки только два.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group