2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача про шарики
Сообщение05.03.2014, 22:39 


09/01/14
257
Здравствуйте.
Из урны, содержащей 3 белых, 5 черных и 2 красных шара два игрока поочередно извлекают по одному шару без возвращения. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. При появлении красного шара объявляется ничья. Найти вероятность того, что выиграет игрок, начавший игру.
Пусть $11\ 12\ 13$ - белые шары, $21\ 22\ 23\ 24 \ 25$ - черные шары, $31\ 32$ - красные шары.
Игра выглядит так:
$21\ 22\ 13$ первый игрок
$24\ 23\ \ $ второй игрок
Кол-во вариантов победы первого игрока $3 \times(5 \times4 \times3 \times2+5 \times4+1)$; $3$ способа выбрать белый шар; в скобках кол-ва способов выбрать черные шары
Победа второго игрока $3 \times(5!+5 \times4 \times3+5)$
Ничья $2 \times(5!+5!/1!+5!/2!+5!/3!+5+1)$
Суммирую, делю первое на сумму, получаю неверный результат. Подскажите, в чём я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про шарики
Сообщение05.03.2014, 23:25 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Попробуйте решить задачу с одним белым, одним чёрным и одним красным шарами.

Предложенным способом получим, что вероятность первого выиграть равна такой же второго (вынимаем белый vs. вынимаем чёрный и белый, везде по одному способу), а на самом деле…

-- Чт мар 06, 2014 02:27:38 --

Итак, конкретно:
tech в сообщении #833177 писал(а):
Подскажите, в чём я ошибаюсь?
В выборе вероятностного пространства. Если бы всевозможные варианты игры были написаны на бумажках и вынимались из урны вместо шаров, то это решение было бы верным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про шарики
Сообщение06.03.2014, 00:29 


09/01/14
257
В упрощенном варианте получается, что вероятность выигрыша первого равна $1/3$.
Если первый достанет черный шар, а второй из двух выберет белый, то он выиграет, то есть вероятность победы второго равна $\frac13*\frac12=\frac16$?
Может быть здесь нужно как-то применять формулу условной вероятности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про шарики
Сообщение06.03.2014, 13:44 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Так попробуйте!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про шарики
Сообщение06.03.2014, 16:18 


09/01/14
257
Кажется, решил.
Я рассмотрел всю игру по ходам. Пусть событие $A$ - выигрыш первого игрока, $A_1, A_2, A_3$ - выигрыш на 1 ходе, на 3 ходе, на 5 ходе (нумерация с учетом ходов другого игрока).
1 ход. $P(A_1)=3/10$
3 ход. $P(A_2)=P(A_2|H_2)P(H_2)$
$H_1$ - 1 игрок вытащил черный шар на 1 ходе.
$H_2$ - 2 игрок вытащил черный шар на 2 ходе.
$P(H_2)=P(H_2|H_1)P(H_1)=(5/10)*(4/9)=2/9$
$P(A_2)=(3/8)*(2/9)=1/12$
5 ход. $P(A_3)=P(A_3|H_4)P(H_4)$
$P(H_4)=P(H_4|H_3)P(H_3)=(1/12)*(2/7)=1/42$
$H_3$ - 1 игрок вытащил черный шар на 3 ходе.
$H_4$ - 2 игрок вытащил черный шар на 4 ходе.
$P(A_3)=(1/42)*(3/7)=1/98$
И $P(A)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=1157/2940$

-- 06.03.2014, 17:42 --

Посмотрел в ответ, и это решение опять неверное.

-- 06.03.2014, 17:49 --

Ура, это всего лишь ошибка по невнимательности. $P(A_3)=(1/42)*(3/6)=1/84$. И всё сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про шарики
Сообщение06.03.2014, 17:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Эквивалентная постановка задачи:

По 10 ячейкам случайно раскладываются 3 белых и 2 красных шарика. Шарики пронумерованы (т.е. одноцветные различимы). Какова вероятность, что один из белых шариков окажется на нечётной позиции (т.е. на 1-й, 3-й или 5-й), а все остальные будут правее его?...

Ну $\dfrac{3(A_9^4+A_7^4+A_5^4)}{A_{10}^5}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про шарики
Сообщение08.03.2014, 15:00 


09/01/14
257
ewert
Большое спасибо.
Ваше решение мне больше по душе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group