2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Wanted: формула для координат фокуса произвольной коники.
Сообщение01.03.2014, 22:43 


29/09/06
4522
$$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0.$$План получения искомой формулы у меня, конечно, имеется. Возьму центр, в знаменателе которого будет $B^2-AC$ (ноль в случае параболы), из инвариантов сосчитаю полурасстояние между фокусами, в знаменателе которого наверняка будет $B^2-AC$ (ноль в случае параболы), вычислю главный собственный вектор, к центру прибавлю-вычту это расстояние в направлении того вектора. И, полагаю, в критическом параболическом случае один из этих $(\pm)$ вариантов сработает: перенесение иррациональностей вверх или вниз превратит одно из этих $\frac{\xi}0\pm\frac{\eta}0$ во что-то приличное (работающее также и так же для эллипса-гиперболы), а второе сделает ожидаемой (в критическом случае) бесконечностью.

Муторно, при моих способностях несколько часов уйдёт, а то и весь день. Весь завтрашний солнечный выходной день.

Может, кто-то уже всё это пережил и поделится готовым решением?

Я пока считаюсь Довольно Заслуженным Участником, никак не халявщиком, и, полагаю, санкций за сообщение мне и миру готовой формулы не последует.

Думаю, задачка могла бы быть поставлена как поиск фокуса, ближайщего к началу координат, и в такой постановке случай параболы был бы ординарным. Мне вот именно такой фокус нужен, ближайший.

 Профиль  
                  
 
 Re: Wanted: формула для координат фокуса произвольной коники.
Сообщение01.03.2014, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20177
Уфа
А почему бы не в однородных координатах? Там$$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dxz+2Eyz+Fz^2=0,$$и, может, кое-какие из неудобностей исчезнут? Я тоже всё забыл, но кажется, что формула тут получится проще, если получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Wanted: формула для координат фокуса произвольной коники.
Сообщение01.03.2014, 23:30 


29/09/06
4522
Я честно попросил халяву. Если вдруг кому известно.
arseniiv в сообщении #831849 писал(а):
Я тоже всё забыл
В каком смысле тоже? В кониках я ничего не забыл.

-- 02 мар 2014, 00:42:20 --

arseniiv в сообщении #831849 писал(а):
но кажется, что формула тут получится проще,
Двояко читается:

1. Процесс получения формулы будет проще.
Не знаю, опыта маловато в проективных координатах, и в математике вообще. Да и не особо верю: поиск общего множителя для разрешения неопределённости типа $\frac00$ в однородных координатах понадобитя в той же мере. И это обычно тривиально.

2. Собственно формула будет проще.
Невозможно: переход к однородным координатам смысла величин $A,B,\ldots F$ вроде не меняет, формула не должна как-то от этого зависеть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Wanted: формула для координат фокуса произвольной коники.
Сообщение01.03.2014, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5722
Уравнение коники с фокусом в начале координат имеет вид $k^2(x^2 + y^2) = (ax + by + c)^2$, то есть для коэффициентов должны выполняться условия $FB = DE$, $F(A - C) = D^2 - E^2$. Теперь осталось подобрать параллельный перенос $x\mapsto x_0 + x'$, $y\mapsto y_0 + y'$, при котором эти соотношения будут выполняться, т.е. $(F + Ax_0^2 + 2Bx_0y_0 + Cy_0^2)B = (D + Ax_0 + By_0)(E + Bx_0 + Cy_0)$, $(F + Ax_0^2 + 2Bx_0y_0 + Cy_0^2)(A - C) = (D + Ax_0 + By_0)^2 - (E + Bx_0 + Cy_0)^2$ (перепроверьте) и надо решить систему двух квадратных уравнений у которой должны быть 2 решения, думаю, это уже стандартная задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Wanted: формула для координат фокуса произвольной коники.
Сообщение02.03.2014, 00:03 


29/09/06
4522
Спасибо, такой подход мною не думался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Wanted: формула для координат фокуса произвольной коники.
Сообщение02.03.2014, 00:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20177
Уфа

(2 Алексей К..)

Алексей К. в сообщении #831852 писал(а):
В каком смысле тоже? В кониках я ничего не забыл.
Не в этом. :-) Видимо, не то слово, а какое — забыл…

Алексей К. в сообщении #831852 писал(а):
Двояко читается:

1. Процесс получения формулы будет проще.
Не знаю, опыта маловато в проективных координатах, и в математике вообще. Да и не особо верю: поиск общего множителя для разрешения неопределённости типа $\frac00$ в однородных координатах понадобитя в той же мере. И это обычно тривиально.
Да, хотелось иметь в виду это, но уже поздно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Wanted: формула для координат фокуса произвольной коники.
Сообщение02.03.2014, 00:30 


29/09/06
4522
Xaositect в сообщении #831853 писал(а):
Уравнение коники с фокусом в центре координат имеет вид $k^2(x^2 + y^2) = (ax + by + c)^2$,

И даже так: $$k\left[ x^2+y^2-(xe\cos\xi+ye\sin\xi-f)^2 \right]=0.$$Там эксцентриситет, фокальный параметр и угол поворота в некое каноническое положение (с фокусом в начале координат), а именно$$y^2+x^2(1-e^2)+2efx-f^2=0.$$

-- 02 мар 2014, 01:31:19 --

arseniiv в сообщении #831857 писал(а):
но уже поздно.
Ничего не поздно. Завтрашний солнечный выходной пока можно считать ещё не наступившим. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Wanted: формула для координат фокуса произвольной коники.
Сообщение02.03.2014, 13:02 


29/09/06
4522
Xaositect в сообщении #831853 писал(а):
т.е. $(F + Ax_0^2 + 2Bx_0y_0 + Cy_0^2)B = (D + Ax_0 + By_0)(E + Bx_0 + Cy_0)$, ... (перепроверьте)
т.е. $(F + Ax_0^2 + 2Bx_0y_0 + Cy_0^2+2Dx_0+2Ey_0)B = (D + Ax_0 + By_0)(E + Bx_0 + Cy_0)$.

-- 02 мар 2014, 14:22:28 --

Xaositect в сообщении #831853 писал(а):
и надо решить систему двух квадратных уравнений у которой должны быть 2 решения, думаю, это уже стандартная задача.
Два решения? А у не_парабол вроде 4 фокуса (два мнимых).

 Профиль  
                  
 
 Re: Wanted: формула для координат фокуса произвольной коники.
Сообщение04.03.2015, 22:07 


14/12/14
17
Вот тут есть некоторое вычисление с коэффициентами. В этом я особо не разбираюсь, но может вы найдёте формулу для фокусов. http://research.microsoft.com/en-us/um/ ... lipse.html
Оно хоть и зовётся Брэзэнхемский эллипс, на самом деле, кажется, строит все кривые второго порядка.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group