2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Теория вероятности, гауссовский вектор
Сообщение01.03.2014, 20:19 


26/12/13
17
svv

Т.е. получается, что у нас еще и у каждой случайной величины,которая входит в вектор разные параметры распределения? Ничего себе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности, гауссовский вектор
Сообщение01.03.2014, 20:30 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Так это же вполне укладывается в способ описания. Даже матрица ковариации только и ждет, чтобы для каждой из с.в. — компонент вектора Вы задали свою дисперсию и вписали в соотстветствующую ячейку.

Представьте, есть вектор из двух непрерывных случайных величин $X_1$ и $X_2$, одинаково распределенных и независимых. Дисперсии у них, понятно, одинаковы: $a_{11}=a_{22}$. Теперь я первую компоненту вектора $X_1$ умножаю на $5$. Линейное такое преобразование. :D Дисперсия, т.е. элемент $a_{11}$ в матрице ковариации, умножится на $25$. А элемент $a_{22}$ так и останется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности, гауссовский вектор
Сообщение01.03.2014, 20:34 


26/12/13
17
svv

Немного не поняла суть примера :-) Т.е. даже если они буду независимы, у них все равно будут разные параметры распределения или что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности, гауссовский вектор
Сообщение01.03.2014, 20:36 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Суть в том, что из законного (в Вашем смысле) примера с одинаковыми дисперсиями я законными действиями получаю разные дисперсии. Следовательно, такая ситуация тоже законна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности, гауссовский вектор
Сообщение01.03.2014, 20:39 


26/12/13
17
svv

То бишь нужно рассматривать общий случай, когда ничего ничему не равно, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности, гауссовский вектор
Сообщение01.03.2014, 20:48 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Вы можете быть уверены, что матрица $A$ симметричная и положительно полуопределенная. Первое означает, что $a_{12}=a_{21}$, второе — это некоторые неравенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности, гауссовский вектор
Сообщение01.03.2014, 20:56 


26/12/13
17
svv в сообщении #831785 писал(а):
Требуем, чтобы это обращалось в нуль. С учетом $a_{12}=a_{21}$ получаем $\tg 2\varphi=\frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}$.

Дальше Вы.


Т.е. остается выразить угол, а потом сказать, что в общем виде нужна матрица выглядит так-то, а угол будет такой-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности, гауссовский вектор
Сообщение01.03.2014, 21:05 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Так как в матрице $S$ присутствует не сам угол, а только $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$, то нахождение самого $\varphi$ как арктангенса будет малополезным. В ответе желательно выразить $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$ через элементы матрицы $A$ и про угол уже не упоминать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности, гауссовский вектор
Сообщение01.03.2014, 21:09 


26/12/13
17
svv

А там же когда мы выражение это преобразуем(которое приравняли к нулю), то получается квадратное уравнение относительно тангенса, так ведь? А откуда потом появляется тангенс двойного угла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности, гауссовский вектор
Сообщение01.03.2014, 21:21 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Вот подробно:
$a'_{12}=(a_{22}-a_{11})\cos\varphi\sin\varphi+a_{12}\cos^2\varphi-a_{21}\sin^2\varphi=0$

$a_{12}(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)=(a_{11}-a_{22})\cos\varphi\sin\varphi$

$\dfrac{a_{12}}{a_{11}-a_{22}}=\dfrac{\sin\varphi\;\cos\varphi}{\cos^2\varphi-\sin^2\varphi}$

В числителе $\frac 1 2\sin 2\varphi$, в знаменателе $\cos 2\varphi$. Так и получается тангенс двойного угла. Но если Вы считаете, что такое преобразование нецелесообразно, можно это и не делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности, гауссовский вектор
Сообщение01.03.2014, 21:27 


26/12/13
17
И получается одно равенство на два неизвестных...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности, гауссовский вектор
Сообщение01.03.2014, 21:28 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Так они же связаны, $\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1$. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности, гауссовский вектор
Сообщение01.03.2014, 21:40 


26/12/13
17
У меня получилось уравнение 4й степени для синуса. Это нормально?

$(4a_{12}^2+(a_{11}-a{22})^2)\sin^4{\varphi}-(4a_{12}^2-(a_{11}-a_{22})^2)\sin^2{\varphi}+a_{12}^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности, гауссовский вектор
Сообщение02.03.2014, 00:47 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Достаточно написать
$\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\end{pmatrix}$, где $\tg 2\varphi=\dfrac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}$.
На всякий случай: здесь матрица $S^{-1}$, она отличается от $S$ знаком $\varphi$ (и, в результате, знаками при синусах).

Если нужны явные формулы, можно так. Обозначим
$k=\dfrac{2 a_{12}}{a_{22}-a_{11}}\quad s=\sin\varphi\quad c=\cos\varphi$

Тогда $k=\dfrac{2sc}{c^2-s^2}$.
Возводим в квадрат, выражаем косинус через синус:
$k^2(1-2s^2)^2=4s^2(1-s^2)$
$(2s^2-1)^2=\frac 1 {1+k^2}$

$s^2=\frac 1 2(1\pm\frac 1{\sqrt{1+k^2}})$
$c^2=\frac 1 2(1\mp\frac 1{\sqrt{1+k^2}})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности, гауссовский вектор
Сообщение02.03.2014, 11:02 


26/12/13
17
svv

А почему в минус первой степени? Она же у нас и должна справа, чтобы преобразовать исходный вектор.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group