2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тензорное произведение колец вычетов
Сообщение27.02.2014, 15:44 


06/12/13
274
Встретилась задачка "вычислить тензорное произведение конечных циклических групп $\mathbb{Z}_m\otimes\mathbb{Z}_n.$" Вычислять тензорные произведения я еще не научилась, поэтому не судите строго.

Вот некоторые мои рассуждения. Сначала можно рассмотреть случай, когда числа $m$ и $n$ взаимно просты, т.е. $(m,n)=1.$ В этом случае существуют такие целые числа $u$ и $v,$ что $mu+nv=1.$ Значит, тензорное произведение $x\otimes y=(1\cdot x)\otimes y=(mux+nvx)\otimes y=n\cdot(vx)\otimes y=(vx)\otimes(ny)=0.$ Так как тензорное произведение $\mathbb{Z}_m\otimes\mathbb{Z}_n$ состоит из конечных сумм вида $\sum x_i\otimes y_i,$ то по-видимому оно будет равно нулю.

А вот со вторым случаем у меня не получается. Предположим, что числа $m$ и $n$ не взаимно просты, т.е. $(m,n)=t>1.$ Тогда снова существуют такие целые числа $u$ и $v,$ что $t=mu+nv.$ Тогда, аналогично вычислениям выше, получаем, что $t\cdot(x\otimes y)=0.$ Но вроде бы в этом случае не все произведения $x\otimes y$ равны нулю. Есть очень большой соблазн написать, что $\mathbb{Z}_m\otimes\mathbb{Z}_n\cong\mathbb{Z}_t.$ Однако это только предположение.

Подскажите, пожалуйста, имеет ли смысл во втором случае применять тот же подход, что и в первом случае и верно ли мое предположение?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение27.02.2014, 16:23 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
OlgaD, создавайте свои темы в разделе "Помогите решить". Если Вы не нашли там кнопку создания темы - поищите - она там есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорное произведение колец вычетов
Сообщение28.02.2014, 14:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
Как я понимаю, $\mathbb{Z}_k$ рассматриваются как $\mathbb{Z}$-модули, а под $\mathbb{Z}_m\otimes\mathbb{Z}_n$ подразумевается $\mathbb{Z}_m\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}_n$.

Ваше предположение верно. И да, имеет смысл во втором случае применять тот же подход. Но, используя этот подход и смекалку, надо построить явный изоморфизм в $\mathbb{Z}_{(m,n)}$.

Можно это утверждение доказать и как следствие более общего утверждения $(K/I_1)\otimes_K(K/I_2)\cong K/(I_1+I_2)$, где $K$ — кольцо, а $I_1$ и $I_2$ — его идеалы. Само это утверждение можно доказать, используя ещё более общее утверждение для $K$-модуля $M$ $M\otimes_K(K/I)\cong M/IM$, но здесь получается пушкой по воробьям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорное произведение колец вычетов
Сообщение01.03.2014, 15:24 
Заслуженный участник


08/01/12
915
OlgaD в сообщении #831105 писал(а):
Встретилась задачка "вычислить тензорное произведение конечных циклических групп $\mathbb{Z}_m\otimes\mathbb{Z}_n.$"

Полезно иметь в виду геометрический смысл этого тензорного произведения: $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}_m)$ и $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}_n)$ — наборы точек, висящие над прямой $\mathrm{Spec}(\mathbb Z)$; для взаимно простых $m$ и $n$ эти наборы висят над различными простыми идеалами $\mathbb Z$, поэтому их пересечение (=расслоенное произведение) пусто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорное произведение колец вычетов
Сообщение17.03.2014, 21:59 


06/12/13
274
Спасибо за уточнение...Однако я пока не очень хорошо освоилась с тензорными вычислениями.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group