2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определитель матрицы
Сообщение26.02.2014, 14:56 


25/02/14
27
Задача.
Дана матрица $M$ размерности $n \times n$, где $m_{ij}=a_ia_j$ при $i \ne j$ и $m_{ii}=a_i +k$. Найти определитель матрицы $M$.

Решение.
Возьмём матрицу $B=\{b_{ij}\}_{i,j=1}^n$, у которой $b_{ij}=a_j$. Можно записать $|M-kE|=\Pi_{i=1}^{n}a_{i}|B|$, где $E$ - единичная матрица. Отсюда $|M-kE|=0$, т.е $k$ - собственное значение матрицы $M$. Пусть все $a_i$ вещественны и $k$ фиксировано. Тогда в силу симметричности $M$ получим $M=kE$ и $|M|=k^n$.

В условии ничего не сказано про $a_i$ и $k$. Насколько законны сделанные предположения? И что делать, если незаконны? Пожалуйста, подскажите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение26.02.2014, 15:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Возьмите самый простой случай. $n=1;a=\{1\},k=0$. Определитель равен $1$.
Пусть $n=2;a=\{1,2\},k=0$. Определитель равен $-2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение26.02.2014, 15:36 


25/02/14
27
При $n=2$ у меня получился определитель $(a_1^2+a_2^2+k)k$. Вычислил в лоб для нескольких $n$. Получается $|M|=\left( k + \Sigma_{i=1}^n a_i^2 \right) k$. Приведенное решение неправильно. Буду дальше копать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение26.02.2014, 15:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
$n=2; a=\{a_1,a_2\}; k$

$\begin{vmatrix}  a_1+k &  a_1\cdot a_2 \\ a_1\cdot a_2 &  a_2+k \end{vmatrix}=(a_1+k)(a_2+k)-a_1^2\cdot a_2^2$

Или я неправильно трактую условие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение26.02.2014, 15:55 


25/02/14
27
Правильно. По крайней мере, я так же понимаю.

-- 26.02.2014, 15:56 --

Пардон, опечатался. Исправляюсь: $|M|=\left(k+\Sigma_{i=1}^n a_i^2 \right)k^{n-1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение26.02.2014, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
А почему у Вас, как будто $m_{ii}=a_i^2+k$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение26.02.2014, 16:09 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
А наверняка в условии так $m_{ii}=a_i^2+k$, а не так $m_{ii}=a_i+k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение27.02.2014, 07:57 


25/02/14
27
svv в сообщении #830798 писал(а):
А наверняка в условии так $m_{ii}=a_i^2+k$, а не так $m_{ii}=a_i+k$.

Да, именно так. Каюсь за временное косоглазие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение27.02.2014, 11:41 


20/03/11

82
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_determinant_lemma

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение27.02.2014, 12:42 


25/02/14
27
В выражении $|A+uv^T|$ матрица $A$ обратима, а $u$ и $v$ - либо векторы, либо матрицы той же размерности, что и $A$. Так что применить эту лемму к $|M-kE|$ не представляется возможным. Или Вы что-то другое имели в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение27.02.2014, 14:47 


20/03/11

82
Если исходить из исправления условия, что $m_{ii} = a_i^2 + k$, то матрица $M$ как раз имеет вид, соответствующий лемме: $M = kE + aa^T$. При $k \ne 0$ она сразу дает результат для определителя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель матрицы
Сообщение27.02.2014, 15:00 


25/02/14
27
Да, всё получилось. Я зациклился на первом "решении", где через $kE$ выражалась не матрица $M$, а её определитель. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group