2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство теоремы Гёделя о неполноте
Сообщение10.02.2014, 12:21 


04/02/14
69
Пусть $G(F)$ - геделевский номер формулы $F$. Понятно как считать $G^{-1}(x)$ при конкретном значении $x$. Но что за формула арифметики Пеано соответствует $G^{-1}(x)$, когда там стоит не конкретное число вместо $x$, а просто переменная $x$ стоит? Например, пусть мы так занумеровали символы теории: $0$ -- $1$, $S$ -- $2$, $=$ -- $3$. Тогда $G^{-1}(525)=. Все чётко и ясно. Но чему равно $G^{-1}(x)$ -- не понятно. Её же нельзя выписать. Как мы можем тогда говорить вещи вроде: "давайте рассмотрим формулу арифметики $\exists x \; G^{-1}(x)$"? Ведь не понятно, что именно это за формула, из каких конкретно символов арифметики она состоит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Гёделя о неполноте
Сообщение10.02.2014, 12:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5891
А какое изложение доказательства Вы имеете в виду? Я не припомню ни одной книги, где использовалась бы $G^{-1}$. И тем более $\exists x G^{-1}(x)$, это вообще очень сомнительное выражение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Гёделя о неполноте
Сообщение10.02.2014, 13:01 


04/02/14
69
Xaositect в сообщении #824844 писал(а):
А какое изложение доказательства Вы имеете в виду?

http://www.math.ru/media/lecture/12
Там $G$ обозначается через $\gamma$ и определяются формула $\text{Dok}(y,x):=(y=\Gamma(\text{доказательство }\gamma^{-1}(x)))$, функция $s(z)=\gamma(\prod_x^z(\gamma^{-1}(z)))$.

Кстати, может подскажете где найти тщательное и подробное изложение, которое не основано на понятиях вычислимости, перечислимости, алгоритмов, программ, моделей теории и т.п. Т.е. синтаксическая версия теоремы Гёделя меня интересует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Гёделя о неполноте
Сообщение10.02.2014, 14:39 


04/02/14
69
Нагель Э., Ньюмен Дз.Р.(Nagel, Newman) Теорема Геделя [2изд] УРСС 2010:
Цитата:
Мы будем записывать отношение между числами $x$ и $z$ посредством формулы "$\text{Dem}(x,y)$" напоминающей нам самим своим обликом о том метаматематическом утверждении, которому она соответствует (а именно, об утверждении "Последовательность формул, имеющая гёделевский номер $x$, является доказательством формулы, имеющей гёделевский номер $z$").

Читатель должен твердо уяснить себе, что хотя "$\text{Dem}(x,y)$" кодирует некоторое метаматематическое утверждение, сама эта запись является формулой арифметического исчисления. Формула эта в более привычных обозначения может быть записана в виде $f(x,y)=0$, где буква $f$ обозначает некоторый довольно-таки сложный комплекс арифметических операций над числами. Однако эта более привычная записаь не "подсказывает" сразу своей метаматематической интерпретации, почему мы и предпочли запись, приведенную в тексте.

Вот такое изложение никуда не годится. Не убедительно. Я хочу посмотреть на эту формулу арифметического исчисления. Или хотя бы чтобы мне показали как её строить. Не считать в некоторых значения, а построить для произвольных $x$ и $z$ формулу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Гёделя о неполноте
Сообщение10.02.2014, 16:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
cscscs в сообщении #824866 писал(а):
Вот такое изложение никуда не годится. Не убедительно. Я хочу посмотреть на эту формулу арифметического исчисления. Или хотя бы чтобы мне показали как её строить

Всё это "упрятано" в часть теории алгоритмов, где доказывается существование универсального алгоритма.
Даже если слово алгоритм не упоминается.

Как в анекдоте про коммивожёра, который представил хозяину (тот не хотел платить за шляпу) отчёт со словами ""Шляпа там есть, но Вы её не увидите.

В варианте
Цитата:
$f(x,y)=0$, где буква $f$ обозначает некоторый довольно-таки сложный комплекс арифметических операций над числами

приходится долго разбираться, когда речь идёт о функции, а когда - об одном из её "имён", т.е. алгоритмов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Гёделя о неполноте
Сообщение10.02.2014, 17:36 


04/02/14
69
nikvic в сообщении #824899 писал(а):
Всё это "упрятано" в часть теории алгоритмов, где доказывается существование универсального алгоритма.
Даже если слово алгоритм не упоминается.

Я так и думал. Видимо через какие-нибудь рекурсивные функции построение дается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Гёделя о неполноте
Сообщение10.02.2014, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5891
cscscs в сообщении #824850 писал(а):
Кстати, может подскажете где найти тщательное и подробное изложение, которое не основано на понятиях вычислимости, перечислимости, алгоритмов, программ, моделей теории и т.п. Т.е. синтаксическая версия теоремы Гёделя меня интересует.
Посмотрите Мендельсон "Введение в математическую логику"

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group