2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теории с очень длинным доказательством их противоречия
Сообщение09.02.2014, 13:18 


04/02/14
69
Каждое формальное доказательство является некоторым словом и поэтому имеет конкретную длину.
Исследовались ли уже такие противоречивые формальные системы, что длина каждого формального доказательства того, что они противоречивы, превышает какое-то большое натуральное число, допустим, $100!^{100!}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теории с очень длинным доказательством их противоречия
Сообщение09.02.2014, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Мне когда-то попадались старые статьи, в которых рассматривалась арифметика с добавленными к ней аксиомами $F(0)$, $F(x)\to F(x+1)$, $F(c)$ для некоторого $c$ и запретом использовать формулы с $F$ в индукции. Там доказывалось, что короткие доказательства для формул из $F$ можно перевести в доказательства в исходной арифметике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теории с очень длинным доказательством их противоречия
Сообщение09.02.2014, 14:39 
Заслуженный участник


14/03/10
867
cscscs в сообщении #824475 писал(а):
Исследовались ли уже такие противоречивые формальные системы, что длина каждого формального доказательства того, что они противоречивы, превышает какое-то большое натуральное число, допустим, $100!^{100!}$?
конечно, и продолжают исследоваться! Например, ZFC, - Котофеич же все уже объяснил :lol: :lol: :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Теории с очень длинным доказательством их противоречия
Сообщение09.02.2014, 18:56 


04/02/14
69
patzer2097 в сообщении #824495 писал(а):
конечно, и продолжают исследоваться! Например, ZFC, - Котофеич же все уже объяснил
:lol: :lol: :lol:

Так он же вроде бы смешал теорию с метатеорией. Так что угодно доказать можно.
Кстати, увидел там ссылку на статью http://elementy.ru/lib/164681/164686
Цитата оттуда:
Цитата:
Самое короткое доказательство противоречивости аксиом Пеано может занимать миллиард страниц, и мы никогда его не увидим. А раз мы никогда не столкнемся с противоречием, то какая нам разница, противоречива аксиоматика или нет? Мы можем и дальше доказывать теоремы и вскрывать интересные взаимосвязи между понятиями, даже не подозревая об ужасной истине!

Вот это как раз та мысль, которая сегодня мне пришла в голову. Почему бы тогда вообще не требовать от математических теорий непротиворечивости, а ограничиться только требованием того, чтобы не было практически осуществимого доказательства противоречивости?

-- 09.02.2014, 20:06 --

Xaositect в сообщении #824494 писал(а):
Мне когда-то попадались старые статьи, в которых рассматривалась арифметика с добавленными к ней аксиомами $F(0)$, $F(x)\to F(x+1)$, $F(c)$ для некоторого $c$ и запретом использовать формулы с $F$ в индукции.

Может $\lnot F(c)$?
Xaositect в сообщении #824494 писал(а):
Там доказывалось, что короткие доказательства для формул из $F$ можно перевести в доказательства в исходной арифметике.

Не понял, что значит "для формул из $F$"? Т.е. которые содержат в себе $F$?
Вообще, конечно, интересно. Может подскажите по каким словам хоть гуглить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теории с очень длинным доказательством их противоречия
Сообщение09.02.2014, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
cscscs в сообщении #824609 писал(а):
Может $\lnot F(c)$?
Да.
cscscs в сообщении #824609 писал(а):
Не понял, что значит "для формул из $F$"? Т.е. которые содержат в себе $F$?
Наоборот, без $F$. Писал в спешке, извините.

Статья Париха http://www.jstor.org/discover/10.2307/2 ... 3417831777 и дальше на нее ссылаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теории с очень длинным доказательством их противоречия
Сообщение09.02.2014, 20:04 


04/02/14
69
Xaositect в сообщении #824626 писал(а):
Статья Париха http://www.jstor.org/discover/10.2307/2 ... 3417831777 и дальше на нее ссылаются.

Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group