2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Пространства,размерность,базис
Сообщение09.02.2014, 17:35 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Нет, базисом пересечения будет один вектор
$\begin{bmatrix}2\\3\\1\\1\end{bmatrix}$

Хочу, чтобы появление непонятно откуда вектора, которого не было в Вашем сообщении, Вас сначала немножко ошарашило, но потом чтобы Вы догадались.

Таки Вы не совсем поняли процедуру. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства,размерность,базис
Сообщение09.02.2014, 20:33 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
svv, так, я кажется изначально не понял) Пересечение пространств - это такие вектора, что каждый из них может быть выражен через векторы первого и второго пространств по отдельности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства,размерность,базис
Сообщение09.02.2014, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
У Вас пропущено слово "базисные". Без него вся фраза не делает смысла. Каждый из векторов пересечения не только "может быть выражен" - он сам уже и есть вектор первого пространства. И второго тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства,размерность,базис
Сообщение09.02.2014, 22:26 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Почему мы тогда решаем такое уравнение: $$
$\alpha_1\begin{bmatrix}-1\\-1\\4\\0\end{bmatrix}+\alpha_2\begin{bmatrix}0\\-3\\7\\-4\end{bmatrix}+\beta_1\begin{bmatrix}-1\\-4\\11\\-4\end{bmatrix}+\beta_2\begin{bmatrix}0\\3\\-7\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$$, а не
$$\alpha_1\begin{bmatrix}-1\\-1\\4\\0\end{bmatrix}+\alpha_2\begin{bmatrix}0\\-3\\7\\-4\end{bmatrix}=\beta_1\begin{bmatrix}-1\\-4\\11\\-4\end{bmatrix}+\beta_2\begin{bmatrix}0\\3\\-7\\2\end{bmatrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства,размерность,базис
Сообщение09.02.2014, 22:37 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
MestnyBomzh
Сядьте на стуле/в кресле поудобнее, и разглядывайте эти два уравнения, пока не поймете, что это одно и то же уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства,размерность,базис
Сообщение10.02.2014, 00:21 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Joker_vD в сообщении #824675 писал(а):
Сядьте на стуле/в кресле поудобнее, и разглядывайте эти два уравнения, пока не поймете, что это одно и то же уравнение.
, да, вы правы, при перенесении в правую часть и умножении на минус один получается то же самое.
svv в сообщении #824581 писал(а):
Нет, базисом пересечения будет один вектор
$\begin{bmatrix}2\\3\\1\\1\end{bmatrix}$

Хочу, чтобы появление непонятно откуда вектора, которого не было в Вашем сообщении, Вас сначала немножко ошарашило, но потом чтобы Вы догадались.

Таки Вы не совсем поняли процедуру. :-(

Да, получилось, хотя пришлось убить достаточно времени, зато, наконец-то, въехал в смысл!)

-- 10.02.2014, 02:04 --

А для суммы пространств составим матрицу, состаящую из векторов $L_1$ и $L_2$: $$\begin{pmatrix}
 -1&  -1& 4 &0 \\ 
 0&  -3&  7& -4\\ 
 -2&  1&  1& 4\\ 
-1&  5& -10 &8 \\ 
 -3&  0&  5& -4\\ 
 -1&  -4&  11& -4\\ 
 -5&  4&  -1& -4\\
-1&  8&  -17& 4\\ 
\end{pmatrix}$$
Приведем её к ступенчатому виду: $$\begin{pmatrix}
 -1&  -1& 4 &0 \\ 
 0&  -3&  7& -4\\ 
 0&  0&  0& -8\\ 
0&  0& 0 &0 \\ 
 0&  0&  0& 0\\ 
 0&  0&  0& 0\\ 
 0&  0&  0& 0\\
0&  0&  0& 0\\ 
\end{pmatrix}$$
Значит размерность равна трем, а базисными будут вектора $$\begin{bmatrix}-1\\-1\\4\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\-3\\7\\-4\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\0\\-8\end{bmatrix}$$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства,размерность,базис
Сообщение10.02.2014, 14:56 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
С суммой разобрался: базисными могут быть наборы $a_1,a_2,b_1$; $a_1,a_2,b_3$; $a_1,a_2,b_4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства,размерность,базис
Сообщение10.02.2014, 16:54 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
В таких задачах обычно требуют найти такие системы векторов $\langle p_k\rangle, \langle q_k\rangle,\langle r_k\rangle$, чтобы
базисом $L_1\cap L_2$ была система $\langle p_k\rangle$
базисом $L_1$ было объединение $\langle p_k\rangle$ и $\langle q_k\rangle$
базисом $L_2$ было объединение $\langle p_k\rangle$ и $\langle r_k\rangle$

Добиться этого несложно. Мы нашли
базис $L_1\cap L_2$: $\langle c_1\rangle=\langle(-1,-4,11,-4)\rangle$
базис $L_1$: $\langle a_1,a_2\rangle=\langle (-1,-1,4,0), (0,-3,7,-4) \rangle$
базис $L_2$: $\langle b_1,b_2\rangle=\langle (-1,-4,11,-4),(0,3,-7,2)\rangle$
Но представить их в виде объединений трех систем, как описано выше, пока нельзя.

Вспомним: с базисом можно проделывать две основные операции, которые сохраняют его «базисность» для того же подпространства:
$\bullet$ любой вектор можно умножить на ненулевое число;
$\bullet$ к любому вектору можно прибавить линейную комбинацию остальных векторов.

Прибавляя к вектору $a_1$ вектор $a_2$, получим новый базис $L_1$:
$\langle a_1+a_2,a_2\rangle=\langle c_1,a_2\rangle$
Конечно, действие было выбрано исходя из того, что $c_1=a_1+a_2$.
А с базисом $L_2$ и этого не надо — только заметить, что $b_1=c_1$.
Поэтому базис $L_2$: $\langle c_1,b_2\rangle$

Значит, вот те три системы:
$\langle p_1\rangle=\langle c_1\rangle=\langle (-1,-4,11,-4)\rangle$
$\langle q_1\rangle=\langle a_2\rangle=\langle (0,-3,7,-4)\rangle$
$\langle r_1\rangle=\langle b_2\rangle=\langle (0,3,-7,2)\rangle$
Объединение $\langle p_1\rangle$ и $\langle q_1\rangle$ — базис $L_1$.
Объединение $\langle p_1\rangle$ и $\langle r_1\rangle$ — базис $L_2$.

А, если подумать, объединение всех трех систем — базис чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства,размерность,базис
Сообщение11.02.2014, 01:29 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
В голову лезет только базис их объединения...

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространства,размерность,базис
Сообщение11.02.2014, 01:54 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да. Лучше сказать — базис суммы подпространств $L_1$ и $L_2$. (Это множество всех векторов, равных сумме вектора из $L_1$ и вектора из $L_2$.)
Я показал, как можно найти этот базис, не особенно напрягаясь.

Ваш базис, конечно, тоже правильный, он задает то же подпространство $L_1+L_2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group