2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Аппроксимация функции на сфере (диаграммы направленности)
Сообщение04.02.2014, 09:41 


23/01/14
19
Мне нужно решить следующую задачу. Имеется набор измерений в пространстве (плотность потока мощности антенны). Нужно найти аппроксимацию зависимости измеренной величины от двух углов (азимута и угла места).
Читал несколько пейперов, где упоминалось, что можно использовать ряд Котельникова, но полного изложения не смог найти. Решил аппроксимировать неизвестную функцию методом наименьших квадратов(МНК).
1) Так как неизвестная функция зависит от двух переменных (угол места и угол азимута), то не очень понятно как обобщить МНК на случай функции двух переменных.
2) Как оценить ошибку аппрокимации, т.е. сказать, что "ошибка аппроксимации не превышает стольки-то процентов"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация функции на сфере (диаграммы направленности)
Сообщение04.02.2014, 16:17 


05/09/12
2587
Пара банальностей навскидку:
1) в методе МНК мы выбираем общий вид аппроксимирующей функции (полином, экспонента и т.п.) с неизвестными параметрами, строим функцию ошибки (сумма квадратов отклонений аппроксимирующей функции от измеренных значений) и далее находим значения параметров, минимизирующие функцию ошибки. Поэтому, если вы в качестве аппроксимирующей функции выберете, например, плоскость, то метод вам честно даст такую плоскость, минимизирующую ошибку. Но ваша экспериментальная зависимость может быть при этом весьма далека от плоскости. Поэтому может имеет смысл ставить задачу не аппроксимации, а интерполяции ваших измерений?
2) мы значем значения измерений только в конечном количество точек. Соответственно, можем посчитать суммарную ошибку аппроксимации по всем точкам (как сказано выше), а также максимальную из всех точек, можем эти величины нормировать к измеренным значениям и получить проценты отклонений. Это будет как-то характериховать точность аппроксимации. Но мы ничего не знаем насчет значений искомой функции в других точках, поэтому не можем гарантировать, что наша оценка ошибки справедлива для всей аппроксимации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация функции на сфере (диаграммы направленности)
Сообщение04.02.2014, 19:29 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Методу наименьших квадратов совершенно всё равно, в каком пространстве находятся точки с известными значениями функции. Он об этом ничего не знает. Всё, что ему известно: значения базисных функций $f_k$ и измеренные значения $y_i$ в $i$-й точке. Как при этом расположены точки в пространстве, и какой оно размерности, и вообще пространство ли это, или набор изолированных точек, и даже есть ли эти точки на самом деле — неважно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация функции на сфере (диаграммы направленности)
Сообщение11.02.2014, 05:29 


23/01/14
19
_Ivana, svv, спасибо за ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация функции на сфере (диаграммы направленности)
Сообщение11.02.2014, 16:07 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Предполагаю, что диаграмма направленности Вашей антенны хотя бы приблизительно осесимметрична.
Я бы ввел сферическую систему координат с осью $z$, направленной по этой оси симметрии. В качестве базисных функций можно взять сферические гармоники
$P_n^m(\cos\theta)\cos m\varphi$
$P_n^m(\cos\theta)\sin m\varphi$
(это без нормировочного коэффициента).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group