2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Переход к новому базису векторного пространства
Сообщение30.01.2014, 21:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
svv в сообщении #820811 писал(а):
а учебник
? :?

А кому он (кому конкретно этот) нужен?... Я даже и не знаю, кто он (и, честно говоря, и знать не хочу). Даже если он вдруг и суперзамечателен и суперавторитетен. Учебников -- полно; надобно же -- не шашечки, а ехать.

-- Чт янв 30, 2014 22:47:41 --

Joker_vD в сообщении #819880 писал(а):
Собственно, я знаю ровно два учебника, в котором сначала вводится размерность, а потом понятие базиса — это П.С. Александров, "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры" и Ефимов–Розендорн.

Собственно, этого уже вполне достаточно. Во всяком случае, все последующие товарищи по сравнению с ними вполне факультативны. Но дело даже не в этом. Дело вот в чём: если, допустим, Александров по рассеянности (ну допустим, что по рассеянности) дал вдруг внятное определение -- так что, за это его расстреливать, что ли?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Переход к новому базису векторного пространства
Сообщение30.01.2014, 22:15 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
С точки зрения практики, возможно, но не очевидно, размерность более важна. Но для теории основным понятием является именно базис. Так как понятие базиса, как независимой в том или ином смысле системы порождающих, намного более общее и имеет аналогии, например, в теории групп (свободные группы при этом некоторым аналогом размерности будет ранг) и, в особенности, абелевых групп и модулей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Переход к новому базису векторного пространства
Сообщение30.01.2014, 22:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #820862 писал(а):
А кому он (кому конкретно этот) нужен?...

Лично вам - чтобы вы не выглядели несущим безответственную отсебятину.

ewert в сообщении #820862 писал(а):
Учебников -- полно; надобно же -- не шашечки, а ехать.

Ехать, однако же, надобно не на одном колесе...

ewert в сообщении #820862 писал(а):
Во всяком случае, все последующие товарищи по сравнению с ними вполне факультативны.

Ленг факультативен? Эдвардс? Халмош? Бурбаки? Хм-м-м...

 Профиль  
                  
 
 Re: Переход к новому базису векторного пространства
Сообщение31.01.2014, 11:03 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
ИМХО, вопрос о размерности и базисе сродни вопросу о курице и яйце :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Переход к новому базису векторного пространства
Сообщение31.01.2014, 12:00 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #819745 писал(а):
Ну это ещё как сказать. Понятие размерности запросто может быть определено ещё до понятия базиса (это даже и естественнее: понятие размерности более фундаментально).

когда начинаете рассуждать про "естественность" и "фундаментальность" то надо писать ИМХО, дабы не попадать в глупое положение:

Бурбаки Алгебра Часть1:

Изображение


ewert в сообщении #820795 писал(а):
Не рассмотрим. Это никому не интересный частный случай -- неинтересный именно в силу сугубой частности.

я просто привожу формальные контрпримеры к Вашей чепухе. Ваше мнение о том, что кому интересно, мне безразлично.

ewert в сообщении #820795 писал(а):
Линал чётко определяет понятие конечной размерности, и именно оно для него (ну или неё) только и интересно, а интересно -- лишь потому, что практически значимо

Что значимо, а что нет, является Вашим субъективным суждением, обусловленным Вашим кругозором. Не более.
ewert в сообщении #820795 писал(а):
Соответственно, он (ну или она) в состоянии вполне корректно определить понятие бесконечной размерности. А варианты обобщения -- это уже не её (ну или не его) дело. Не забывайте, что речь-то изначально шла именно о линейной алгебре.

Странно, только что Вы настаивали на рассмотрении и бесконечномерных пространств:
ewert в сообщении #819776 писал(а):
И не забывая при этом, кстати, что бесконечномерные пространства -- они как-то в природе тоже почему-то иногда случаются.

Кстати, не надо путать линейную алгебру и теорию конечномерных пространств.

-- Пт янв 31, 2014 12:07:34 --

Sicker в сообщении #820982 писал(а):
ИМХО, вопрос о размерности и базисе сродни вопросу о курице и яйце :-)

естественно

 Профиль  
                  
 
 Re: Переход к новому базису векторного пространства
Сообщение31.01.2014, 17:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #820883 писал(а):
Ленг факультативен? Эдвардс? Халмош? Бурбаки? Хм-м-м...

Бурбаки -- безусловно. Предыдущие -- не безусловно, но уж точно по сравнению с Александровым или Ефимовым-Розендорном.

AV_77 в сообщении #820876 писал(а):
С точки зрения практики, возможно, но не очевидно, размерность более важна. Но для теории основным понятием является именно базис.

Верно с точностью до наоборот. Вычислительно важен, безусловно, базис, теоретически же он вторичен, ибо в бесконечномерном случае слишком часто его приходится притягивать за уши (в отличие от размерности).

 Профиль  
                  
 
 Re: Переход к новому базису векторного пространства
Сообщение31.01.2014, 17:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #821094 писал(а):
Вычислительно важен, безусловно, базис, теоретически же он вторичен, ибо в бесконечномерном случае слишком часто его приходится притягивать за уши (в отличие от размерности).

А как вы относитесь к математическим объектам, для которых возможны разные базисы, по которым получаются разные размерности?

(Оффтоп)

    Ряд сходится не безусловно, но уж точно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Переход к новому базису векторного пространства
Сообщение31.01.2014, 17:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #821100 писал(а):
А как вы относитесь к математическим объектам, для которых возможны разные базисы, по которым получаются разные размерности?

а-а, это по одному базису размерность получается два, а по другому -- три, да?...

-- к ним отношусь очень хорошо. Хочется им не существовать -- ну так и ради бога.

 Профиль  
                  
 
 Re: Переход к новому базису векторного пространства
Сообщение31.01.2014, 21:04 


10/02/11
6786
Справка.

Рассмотрим линейное пространство $X$.
I) Базисом Гамеля называется множество векторов $\{e_\tau\}\subset X$ такое, что
1) каждое конечное подмножество данного множества линейно независимо
2) всякий элемент $x\in X$ раскладывается в сумму $x=\sum_{i=1}^nx_i e_{\tau_i}$.
Мощности любых двух базисов Гамеля в данном пространстве одинаковы. Мощность базиса Гамеля называется алгебраической размерностью пространства. Базис Гамеля существует в любом пространстве.


Пусть теперь $X$ -- банахово пространство.
II) Базисом Шаудера называется последовательность векторов $\{e_i\}_{i\in \mathbb{N}}\subset X$ такая, что
1) любой элемент $x\in X$ раскладывается в сумму $x=\sum_{i=1}^\infty x_ie_i$ Ряд сходится по норме, условно, вообще говоря.
2) числа $x_i$ определены элементом $x$ однозначно.

Если в пространстве $X$ существует базис Шаудера, то это пространство сепарабельно. Обратное неверно.
В конечномерном пространстве над $\mathbb{R},\mathbb{C}$ со стандартной топологией понятия базиса Гамеля и базиса Шаудера совпадают.

В бесконечномерном банаховом пространстве мощность базиса Гамеля не меньше континума.

III) В любом Гильбертовом пространстве $H$ существует система элементов $e=\{e_\tau\}$ такая что:
1) $(e_{\tau},e_\mu)=\delta_{\tau\mu}$
2) если $(u,e_\tau)=0$ для всех элементов системы $e$, то $u=0$.
Эта система называется ортонормированным базисом гильбертова пространства.

Утв. Всякий элемент $x\in H$ раскладывается в сумму
$x=\sum_{i\in\mathbb{N}}x_ie_{\tau_i}$ и это разложение единственно, ряд сходится абсолютно

Мощности любых двух ортонормированных базисов гильбертова пространства одинаковы.
Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда когда его ортонормированный базис состоит из счетного множества элементов.
В сепарабельном гильбертовом пространстве ортонормированный базис является базисом Шаудера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Переход к новому базису векторного пространства
Сообщение31.01.2014, 21:14 


11/03/08
524
Петропавловск, Казахстан
Сначала определить размерность, а потом базис или наоборот зависит от целей курса. Если вы ограничиваетесь курсом обычной линейной алгеброй и конечномерными векторными пространствами, то неважно в какой последовательности.
А вот раньше, на специальности "Информационные системы" я знал, что потом, в следующем семестре, будут ряды Фурье. Поэтому пошел по Колмогорову-Фомину: Сначала дается определение $n$-мерного векторного пространства, а потом уже базиса $n$-мерного в. п. Потом, через полгода, об этом напомнил и вроде полегче было говорить о базисах бесконечномерного в. п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Переход к новому базису векторного пространства
Сообщение01.02.2014, 07:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #821193 писал(а):
Рассмотрим линейное пространство $X$.
I) Базисом Гамеля называется множество векторов $\{e_\tau\}\subset X$ такое, что
1) каждое конечное подмножество данного множества линейно независимо
2) всякий элемент $x\in X$ раскладывается в сумму $x=\sum_{i=1}^nx_i e_{\tau_i}$.
Мощности любых двух базисов Гамеля в данном пространстве одинаковы. Мощность базиса Гамеля называется алгебраической размерностью пространства. Базис Гамеля существует в любом пространстве.

Совершенно верно. И только после этого следует давать таблицу умножения -- и боже упаси ранее!

BVR в сообщении #821195 писал(а):
Если вы ограничиваетесь курсом обычной линейной алгеброй и конечномерными векторными пространствами, то неважно в какой последовательности.

Дело не в ограниченности, а в последовательности изложения. "Обычная" линейная алгебра в любом варианте идёт в самом начале. И в её рамках никакие изыски не уместны абсолютно. Какое при этом понятие (размерности или базиса) принимать за первичное -- дело вкуса, конечно. Просто в первом случае логика выстраивается проще и естественнее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 56 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group