2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Одна теорема из логики
Сообщение26.01.2014, 19:20 
Аватара пользователя


17/10/13
674
Деревня
Теорема:Всякая булева формула, не содержащая отрицаний, представляет монотонную функцию, отличную от $0$ и $1$;
Док-во: Пусть дана булева формула, без отрицаний. Применим к ней процедуру приведения к ДНФ. Получим невырожденную ДНФ также не содержащую отрицаний. Пусть на наборе $a=(a_1......a_n) F(a)=1$. Тогда $F$ содержит конъюнкцию (без отрицаний!) $x_{i1}....x_{ik}=1$, равную $1$ на этом наборе. Следовательно, $a_{i1}=....=a_{ik}=1$. Рассмотрим любой набор $b$, больший чем $a$. В нем обязательно $b_{i1}=....=b_{ik}=1$, поэтому $x_{i1},.....x_{ik}$ обратится в $1$ и $F(b)=1$; Таким образом, условие монотонности для $F$ выполнено и функция $f$, представляемая ДНФ $F$ (а значит, и исходной формулой), монотонна.
Кто-нибудь, пожалуйста, объясните этот момент: ....Тогда $F$ содержит конъюнкцию (без отрицаний!) $x_{i1}....x_{ik}=1$, равную $1$ на этом наборе. Следовательно, $a_{i1}=....=a_{ik}=1$....здесь $x_{i1}....x_{ik}=1$ это элементы конъюнкции? То есть есть $x_{i1}\wedge ....\wedge x_{ik}=1$, а что тогда означает: Следовательно, $a_{i1}=....=a_{ik}=1$. Что это за набор, что он означает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна теорема из логики
Сообщение27.01.2014, 03:56 
Заслуженный участник


14/03/10
867
MestnyBomzh в сообщении #819375 писал(а):
Теорема:Всякая булева формула, не содержащая отрицаний, представляет монотонную функцию, отличную от $0$ и $1$
чтобы это утверждение имело смысл, надо написать, в какой сигнатуре эта формула предполагается записанной. Иначе я возьму просто $x_1\rightarrow x_2$, и тогда - она содержит отрицания? а монотонна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна теорема из логики
Сообщение27.01.2014, 06:59 
Аватара пользователя


17/10/13
674
Деревня
patzer2097, ну тут, безусловно, имеется в виду минимальное ДНФ

 Профиль  
                  
 
 Re: Одна теорема из логики
Сообщение27.01.2014, 09:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
MestnyBomzh в сообщении #819375 писал(а):
Применим к ней процедуру приведения к ДНФ.

В этом нет нужды. Формула является деревом, и естественно воспользоваться индукцией по его построению.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group